Безгранично делимое распределение

Безграни́чно дели́мое распределе́ние, распределение вероятностей, которое при любом ${\displaystyle n=2,{\text{З}},4\ldots }$ может быть представлено как композиция (свёртка) ${\displaystyle n}$ одинаковых распределений вероятностей. Определение бесконечно делимого распределения в равной степени применимо к распределениям на прямой, в конечномерных евклидовых пространствах и в некоторых ещё более общих случаях. Ниже рассматривается одномерный случай.

Характеристические функции ${\displaystyle f(t)}$ бесконечно делимого распределения называются безгранично делимыми. Каждая такая функция при любом ${\displaystyle n}$ может быть представлена как ${\displaystyle n}$-я степень некоторой другой характеристической функции:

${\displaystyle f(t)=(f_{n}(t))^{n}}$.

Примерами бесконечно делимого распределения могут служить нормальное распределение, распределение Пуассона, распределение Коши, «хи-квадрат» распределение. Проверять свойство безграничной делимости проще всего с помощью характеристической функции. Композиция бесконечно делимых распределений и предел слабо сходящейся последовательности бесконечно делимых распределений суть снова бесконечно делимые распределения.

Случайную величину, определённую на некотором вероятностном пространстве, называют безгранично делимой, если при любом ${\displaystyle n}$ она может быть представлена в виде суммы ${\displaystyle n}$ независимых одинаково распределённых случайных величин, определённых на том же пространстве. Распределение каждой такой величины – бесконечно делимое распределение. Обратное не всегда верно. Так, если взять дискретное вероятностное пространство, образованное неотрицательными целыми числами ${\displaystyle m=0,1,2,\ldots }$ с приписанными им пуассоновскими вероятностями

${\displaystyle {\mathsf {P}}(m)={\frac {\lambda ^{m}}{m!}}e^{-\lambda }}$,

то случайная величина ${\displaystyle X(m)=m}$ не будет безгранично делимой, хотя её распределение вероятностей (распределение Пуассона) есть бесконечно делимое распределение.

Бесконечно делимое распределение впервые появились в связи с изучением стохастически непрерывных однородных случайных процессов с независимыми приращениями (см. ^[1]; Kolmogorov. 1932; ^[2]). Так называют процессы ${\displaystyle X(\tau }$), ${\displaystyle \tau \geqslant 0}$, удовлетворяющие требованиям:
1) ${\displaystyle X(0)=0}$;
2) распределение вероятностей приращения ${\displaystyle X(\tau _{2})-X(\tau _{1})}$, ${\displaystyle \tau _{2}>\tau _{1}}$, зависит только от ${\displaystyle \tau _{2}-\tau _{1}}$;
3) при ${\displaystyle \tau _{1}\leqslant \tau _{2}\leqslant \ldots \leqslant \tau _{k}}$ разности

${\displaystyle X(\tau _{2})-X(\tau _{1}),X(\tau _{3})-X(\tau _{2}),\ldots ,X(\tau _{k})-X(\tau _{k-1})}$

являются взаимно независимыми случайными величинами;
4) для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}(\mid X(\tau )\mid >\varepsilon )\to 0}$

при ${\displaystyle \tau \to 0}$.

Для такого процесса значение ${\displaystyle X(\tau )}$ при любом ${\displaystyle \tau }$ будет иметь бесконечно делимое распределение и соответствующая характеристическая функция удовлетворяет соотношению:

${\displaystyle f_{\tau }(t)=(f_{1}(t))^{\tau }}$.

Общий вид ${\displaystyle f_{\tau }(t)}$ для таких процессов в предположении конечности дисперсий ${\displaystyle {\mathsf {D}}X(\tau )}$ был найден А. Н. Колмогоровым (Kolmogorov. 1932) (частный случай приводимого ниже общего канонического представления бесконечно делимого распределения).

Характеристическая функция бесконечно делимого распределения нигде не обращается в нуль, и её логарифм (в смысле главного значения) допускает представление вида:

${\displaystyle \ln f(\tau )=i\gamma t+\int _{-\infty }^{+\infty }L(u,t){\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\,dG(u)}$ (*)

(т. н. каноническое представление Леви – Хинчина), где

${\displaystyle L(u,t)=e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}}$,

${\displaystyle \gamma }$ – некоторая действительная постоянная, ${\displaystyle G(u)}$ – неубывающая функция ограниченной вариации с ${\displaystyle G(-\infty )=0}$. Подынтегральное выражение при ${\displaystyle u=0}$ принимают равным ${\displaystyle -t^{2}/2}$. При любом выборе постоянной ${\displaystyle \gamma }$ и функции ${\displaystyle G(x)}$ с указанными выше свойствами формула ${\displaystyle (*)}$ определяет логарифм характеристической функции некоторого бесконечно делимого распределения. Соответствие между бесконечно делимыми распределениями и парами ${\displaystyle (\gamma ,G)}$ взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Последнее означает, что бесконечно делимые распределения слабо сходятся к предельному бесконечно делимому распределению тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \gamma _{n}\to \gamma }$ и ${\displaystyle G_{n}(x)}$ слабо сходятся к ${\displaystyle G(x)}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$.

Примеры. Пусть ${\displaystyle U(x)=0}$, ${\displaystyle x\leqslant 0}$, ${\displaystyle U(x)=1}$, ${\displaystyle x>0}$. Тогда для нормального распределения с математическим ожиданием ${\displaystyle a}$ и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ в формуле ${\displaystyle (*)}$ следует положить

${\displaystyle \gamma =a,\quad G(x)={\frac {\sigma ^{2}}{2}}U(x)}$.

Для распределения Пуассона с параметром ${\displaystyle \lambda }$ имеем

${\displaystyle \gamma ={\frac {\lambda }{2}},\quad G(x)={\frac {\lambda }{2}}U(x-1)}$.

Для распределения Коши с плотностью

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$

имеем ${\displaystyle \gamma =0}$,

${\displaystyle G(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {arctg} x+{\frac {1}{2}}}$.

Каноническое представление ${\displaystyle (*)}$ удобно с чисто «технической» точки зрения (благодаря тому, что ${\displaystyle G}$ имеет ограниченную вариацию), однако функция ${\displaystyle G}$ не имеет прямого вероятностного истолкования. Поэтому используют и другую форму представления бесконечно делимого распределения, допускающую непосредственную вероятностную интерпретацию. Пусть функции ${\displaystyle M(u)}$ и ${\displaystyle N(u)}$ определены при ${\displaystyle u<0}$ и ${\displaystyle u>0}$, соответственно, формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}dM(u)={\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\,dG(u),\\dN(u)={\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\,dG(u),\\M(-\infty )=N(\infty )=0.\end{aligned}}}$

Эти функции неубывающие, ${\displaystyle M(u)\geqslant 0}$ при ${\displaystyle u<0}$ и ${\displaystyle N(u)\leqslant 0}$ при ${\displaystyle u>0}$; в окрестности нуля функции могут неограниченно возрастать. Обозначая дополнительно через ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ скачок функции ${\displaystyle G}$ в нуле, формулу ${\displaystyle (*)}$ можно переписать в виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln f(t)=i\gamma t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}+\int _{-\infty }^{-0}L(u,t)\,dM(u)+\;\\+\int _{+0}^{\infty }L(u,t)\,dN(u)\end{aligned}}}$

(каноническое представление Леви). Функции ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ описывают, грубо говоря, частоту скачков различного размера в однородном процессе ${\displaystyle X(\tau )}$ с независимыми приращениями, для которого

${\displaystyle \ln f_{\tau }(t)=\tau \ln f(t)}$.

Важная роль бесконечно делимого распределения в предельных теоремах теории вероятностей связана с тем, что эти и только эти распределения могут быть предельными для сумм независимых случайных величин, подчинённых требованию асимптотической пренебрегаемости. При этом рассматривают последовательность серий ${\displaystyle X_{n1},\ldots ,X_{nk_{n}}}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, взаимно независимых случайных величин и затем подбирают взаимно независимые случайные величины ${\displaystyle Y_{n1},\ldots ,Y_{nk_{n}}}$, имеющие бесконечно делимые распределения (т. н. сопровождающие бесконечно делимые распределения); характеристическая функция ${\displaystyle g_{nk}(t)}$ величины ${\displaystyle Y_{nk}}$ определяется по характеристической функции ${\displaystyle f_{nk}(t)}$ величины ${\displaystyle X_{nk}}$ так, чтобы выполнялось следующее основное свойство: распределения сумм

${\displaystyle \sum _{k=1}^{k_{n}}X_{nk}-A_{n}}$

сходятся к предельному распределению (при некотором выборе констант ${\displaystyle A_{n}}$) тогда и только тогда, когда сходятся к предельному распределения сумм

${\displaystyle \sum _{k=1}^{k_{n}}Y_{nk}-A_{n}}$.

Для симметричного распределения ${\displaystyle X_{nk}}$ полагают

${\displaystyle g_{nk}(t)=\exp(f_{nk}(t)-1)}$.

В других случаях выражение ${\displaystyle g_{nk}}$ сложнее и содержит т. н. урезанные математические ожидания ${\displaystyle X_{nk}}$. Свойства бесконечно делимого распределения описывают в терминах функций, входящих в канонические представления. Так, например, безгранично делимая функция распределения ${\displaystyle F(x)}$ непрерывна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{u^{2}}}\,dG(u)=\infty }$.

Важным частным случаем бесконечно делимого распределения являются т. н. устойчивые распределения. См. также Разложение безгранично делимых распределений.