Распределение Пуассона

Распределе́ние Пуассо́на, распределение вероятностей случайной величины ${\displaystyle X}$, возможные значения которой – неотрицательные целые числа, и

${\displaystyle {\mathsf {P}}{\it {\{X=k\}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda ^{k}},\quad k=0,1,2,\ldots }}}$,

где${\displaystyle \lambda >0}$ – параметр (здесь, как всегда, считается, что ${\displaystyle 0!=1}$). Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона равны ${\displaystyle \lambda }$, характеристическая функция

${\displaystyle f(t)=\exp(\lambda (e^{it}-1))}$.

Если независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ имеют распределения Пуассона с параметрами${\displaystyle \lambda _{1}}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}}$, то их сумма ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ имеет распределение Пуассона с параметром ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}}$; верно и обратное: если сумма ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ независимых случайных величин имеет распределение Пуассона, то каждая из случайных величин ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ имеет распределение Пуассона. При ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$ случайная величина ${\displaystyle (X-\lambda ){\sqrt {\lambda }}}$ имеет в пределе стандартное нормальное распределение. Распределение Пуассона является безгранично делимым распределением, но не является устойчивым. Распределение Пуассона появилось в работе С. Пуассона (1837) при выводе утверждения, которое ныне называется теоремой Пуассона.