Каноническое представление Леви

Канони́ческое представле́ние Леви́, формула для логарифма характеристической функции ${\displaystyle \ln \varphi (\lambda )}$ безгранично делимого распределения:

${\displaystyle \ln \varphi (\lambda )=i\gamma \lambda -{\frac {\sigma ^{2}\lambda ^{2}}{2}}+\int _{-\infty }^{0}\left(e^{i\lambda x}-1-{\frac {i\lambda x}{1+x^{2}}}\right)\,dM(x)+}$
${\displaystyle \quad +\int _{0}^{\infty }\left(e^{i\lambda x}-1-{\frac {i\lambda x}{1+x^{2}}}\right)\,dN(x),}$

где характеристики канонического представления Леви ${\displaystyle \gamma ,\sigma ^{2},M,N}$ удовлетворяют следующим условиям: ${\displaystyle -\infty <\gamma <\infty }$, ${\displaystyle \sigma ^{2}\geqslant 0}$, ${\displaystyle M(x)}$ и ${\displaystyle N(x)}$ – неубывающие непрерывные слева функции на ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ и ${\displaystyle (0,\infty )}$ соответственно и такие, что

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }N(x)=\lim _{x\rightarrow -\infty }M(x)=0}$

и

${\displaystyle \int _{-1}^{0}x^{2}\,dM(x)<\infty ,\quad \int _{0}^{1}x^{2}\,dN(x)<\infty }$.

Каждому безгранично делимому распределению соответствует единственный набор характеристик канонического представления Леви ${\displaystyle \gamma ,\sigma ^{2},M,N}$, и обратно, при приведённых выше условиях на ${\displaystyle {\gamma },\sigma ^{2},M}$ и ${\displaystyle N}$ по любому такому набору каноническое представление Леви определяет логарифм характеристической функции некоторого безгранично делимого распределения.

Так, для нормального распределения со средним ${\displaystyle a}$ и дисперсией ${\displaystyle {\sigma }^{2}}$

${\displaystyle {\gamma }=a,\quad {\sigma }^{2}={\sigma }^{2},\quad N(x)\equiv 0,\quad M(x)\equiv 0}$.

Для распределения Пуассона с параметром ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \gamma =\lambda /2,\,\,\sigma ^{2}=0,\,\,M(x)\equiv 0,\,\,N(x)=-\lambda \,\,{\text{ при }}\,\,x\leqslant 1,}$
${\displaystyle N(x)=0\,\,{\text{ при }}\,\,x>1.}$

Устойчивому распределению с показателем ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 0<\alpha <2}$, соответствует каноническое представление Леви с

${\displaystyle \sigma ^{2}=0\,\,{\text{ и некоторым }}\,\,\gamma ,\quad M(x)=c_{1}/\mid x\mid ^{\alpha },\quad N(x)=-c_{2}/x^{\alpha }}$,

где ${\displaystyle c_{i}\geqslant 0}$, ${\displaystyle i=1,2}$, – постоянные ${\displaystyle \left(c_{1}+c_{2}>0\right)}$. Каноническое представление Леви безгранично делимого распределения было предложено П. Леви (1934). Оно является обобщением формулы А. Н. Колмогорова, найденной им в 1932 г. для случая, когда безгранично делимое распределение имеет конечную дисперсию. Для ${\displaystyle \ln \varphi (\lambda )}$ имеется эквивалентная формула канонического представления Леви, предложенная в 1937 г. А. Я. Хинчиным и называемая каноническим представлением Леви – Хинчина. Вероятностный смысл функций ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle M}$ и область использования канонического представления Леви определяются следующим: каждой безгранично делимой функции распределения ${\displaystyle F(x)}$ соответствует стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями

${\displaystyle X=\{X(t),\,\,0\leqslant t<\infty \},\quad X(0)=0}$,

такой, что

${\displaystyle F(x)=\mathbf {P} \{X(1)<x\}}$.

В свою очередь, сепарабельный процесс ${\displaystyle X}$ упомянутого типа имеет с вероятностью 1 выборочные траектории без разрывов второго рода, и поэтому для ${\displaystyle b>a>0}$ определена случайная величина ${\displaystyle Y([a,b])}$, равная числу элементов во множестве

{{center|${\displaystyle \left\{t:a\leqslant \lim _{\tau \downarrow 0}X(t+\tau )-\lim _{\tau \downarrow 0}X(t-\tau )<b,\;0\leqslant t\leqslant 1\right\}}$ В этих обозначениях для функции ${\displaystyle N}$, соответствующей ${\displaystyle F(x)}$, имеет место следующее соотношение</b,\,\,></math>

${\displaystyle \mathbf {E} \{Y([a,b])\}=N(b)-N(a)}$.

Аналогичное соотношение имеет место и для функции ${\displaystyle M}$.

В терминах характеристик канонического представления Леви функции распределения ${\displaystyle \mathbf {P} \{X(1)<x\}}$ легко выражаются многие свойства поведения выборочных траекторий сепарабельного процесса ${\displaystyle X}$. В частности, при ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}N(x)>-\infty ,\quad \lim _{x\rightarrow 0}M(x)<\infty ,}$
${\displaystyle \gamma =\int _{-\infty }^{0}{\frac {x}{1+x^{2}}}\,dM(x)+\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{1+x^{2}}}\,dN(x),}$

почти все выборочные функции ${\displaystyle X}$ с вероятностью 1 будут ступенчатыми функциями с конечным числом скачков на любом конечном интервале. Если ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$ и

${\displaystyle \int _{-1}^{0}\mid x\mid \,dM(x)+\int _{0}^{1}x\,dN(x)<\infty }$,

то выборочные траектории ${\displaystyle X}$ с вероятностью 1 имеют ограниченную вариацию на любом конечном интервале. Непосредственно через характеристики канонического представления Леви ${\displaystyle \mathbf {P} \{X(1)<x\}}$ определяется инфинитезимальный оператор, соответствующий процессу ${\displaystyle X}$, рассматриваемому как марковская случайная функция. Многие аналитические свойства безгранично делимой функции распределения непосредственно выражаются в терминах характеристик её канонического представления Леви.

Имеются аналоги канонического представления Леви для безгранично делимых распределений, задаваемых на широком классе алгебраических структур.