Распределение Коши

Распределе́ние Коши́, распределение вероятностей случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющее плотность

${\displaystyle p(x;\lambda ,\mu )={1 \over \pi }{\frac {\lambda }{\pi \lambda ^{2}+(x-\mu )^{2}}},\quad -\infty <{\text{х}}<\infty }$,

где ${\displaystyle -\infty <\mu <\infty }$ и ${\displaystyle \lambda >0}$ – параметры. Распределение Коши унимодально и симметрично относительно точки ${\displaystyle x=\mu }$, являющейся модой и медианой этого распределения [на рис. а и б изображены графики плотности ${\displaystyle p(x;\lambda ,\mu )}$ и соответствующей функции распределения ${\displaystyle F(x;\lambda ,\mu )}$ при ${\displaystyle \mu =1,5}$ и ${\displaystyle \lambda =1}$]. Математическое ожидание распределения Коши не существует. Характеристическая функция распределения Коши равна ${\displaystyle e^{i\mu t-\lambda |t|}}$, ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$. Произвольное распределение Коши с параметрами ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \lambda }$ выражается через стандартное распределение Коши с параметрами ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ формулой

${\displaystyle p(x;\mu ,\lambda )={1 \over \lambda }p\left({\frac {x-\mu }{\lambda }}\right)}$,

где

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$,.

Если независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ имеют одно и то же распределение Коши, то их арифметическое среднее ${\displaystyle (X_{1}+\ldots +X_{n})/n}$ для любого ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ имеет то же самое распределение; этот факт был установлен С. Д. Пуассоном (1830). Распределение Коши является устойчивым распределением. Отношение ${\displaystyle X/Y}$ независимых случайных величин ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ со стандартным нормальным распределением имеет распределение Коши с параметрами ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$. Распределение тангенса ${\displaystyle \operatorname {tg} Z}$ случайной величины ${\displaystyle Z}$, с равномерным распределением на отрезке ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$, также имеет распределение Коши с параметрами ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$. Распределение Коши рассматривалось О. Коши в 1853 г.