Устойчивое распределение

Усто́йчивое распределе́ние, распределение вероятностей, функция распределения которого сохраняет свой тип при свёртке с функцией распределения того же типа. При этом типом называют множество функций распределения ${\displaystyle G(bx+a)}$, где ${\displaystyle G}$ – любая функция из данного типа, ${\displaystyle b}$ – любое положительное, ${\displaystyle a}$ – любое действительное число. Иногда определение устойчивости записывают следующим образом: для любых действительных ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ и любых положительных ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$ существуют действительное число ${\displaystyle a}$ и положительное ${\displaystyle b}$ такие, что при всех ${\displaystyle x}$

${\displaystyle G(b_{1}x+a_{1})*G(b_{2}x+a_{2})=G(bx+a)}$,

где ${\displaystyle *}$ – символ операции свёртки. Множество устойчивых распределений является подмножеством множества безгранично делимых распределений. Характеристические функции устойчивых распределений выражаются в явном виде

${\displaystyle g(t)={\text{exp}}\left\{i\gamma t-c\mid t\mid ^{\alpha }\left[1-i\beta {\frac {t}{\mid t\mid }}\omega (t,\alpha )\right]\right\}}$,

где параметры ${\displaystyle 0<\alpha \leqslant 2}$, ${\displaystyle -1\leqslant \beta \leqslant 1}$, ${\displaystyle c\geqslant 0}$, ${\displaystyle \gamma }$ – действительное число. Функция ${\displaystyle \omega (t,\alpha )=\operatorname {tg} {\frac {\pi \alpha }{2}}}$ при ${\displaystyle \alpha \neq 1\ {\text{и}}\ \omega (t,\alpha )=\operatorname {tg} {\frac {2}{\pi }}\ln \mid t\mid }$ при ${\displaystyle \alpha =1}$. Число ${\displaystyle \gamma }$ является параметром сдвига, ${\displaystyle c}$ играет роль параметра масштаба, ${\displaystyle \beta }$ связано с асимметрией распределения, ${\displaystyle \alpha }$ называется характеристическим показателем устойчивого распределения, с величиной ${\displaystyle \alpha }$ связаны скорости убывания функций ${\displaystyle G(-x)\ {\text{и}}\ 1-G(x)}$ при ${\displaystyle {\ce {x->\infty }}}$. Для устойчивого распределения с показателем ${\displaystyle \alpha <2}$ существуют абсолютные моменты порядков, меньших ${\displaystyle \alpha }$, момент порядка ${\displaystyle \alpha }$ не существует. Устойчивым распределением с показателем ${\displaystyle \alpha =2}$ является нормальное распределение. Примером устойчивого распределения с показателем ${\displaystyle \alpha =1}$ служит распределение Коши. Все устойчивые распределения имеют плотности, которые бесконечно дифференцируемы. Явный вид плотностей известен лишь для нормального распределения, распределения Коши и распределения Леви – Смирнова, плотность которого

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}x^{3/2}}}e^{-1/2x}}$

для положительных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle p(x)=0}$ для отрицательных ${\displaystyle x}$.

Устойчивые распределения и только они являются предельными для распределений сумм независимых одинаково распределённых случайных величин. Точнее, если ${\displaystyle X_{1},X_{2},..}$. – независимые одинаково распределённые величины и для некоторой последовательности постоянных ${\displaystyle A_{n},B_{n}>0}$ распределения центрированных и нормированных сумм

${\displaystyle {\frac {X_{1}+...+X_{n}-A_{n}}{B_{n}}}}$ (*)

сходятся к невырожденному предельному распределению, то предельное распределение устойчиво. Обратно, если ${\displaystyle X_{1},X_{2},..}$. – независимые одинаково распределённые величины, имеющие устойчивое распределение, то существует последовательность постоянных ${\displaystyle A_{n},B_{n}>0}$ такая, что распределения центрированных и нормированных сумм (*) сходятся к этому же устойчивому распределению. В частности, если ${\displaystyle X_{1},X_{2},..}$. – независимые одинаково распределённые величины, имеющие устойчивое распределение с параметрами ${\displaystyle \gamma =0,\beta =0}$, то распределения случайных величин

${\displaystyle {\frac {X_{1}+...+X_{n}}{n^{1/\alpha }}}}$

не зависят от ${\displaystyle n}$ и поэтому сходятся к тому же устойчивому распределению.