Гиперплоскость

Гиперпло́скость в векторном пространстве ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle K}$, образ (при сдвиге) векторного подпространства ${\displaystyle M}$, дополнение к которому одномерно, т. е. множество ${\displaystyle \pi }$ вида ${\displaystyle x_{0}+M}$ при некотором ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Гиперплоскость при ${\displaystyle x_{0}=0}$ иногда называют однородной. Подмножество ${\displaystyle \pi \subset X}$ является гиперплоскостью в том и только в том случае, когда

${\displaystyle \pi =\{x:f(x)=\alpha \}}$ (*)

для ${\displaystyle \alpha \in K}$ и некоторого ненулевого линейного функционала ${\displaystyle f\in X^{*}}$. При этом ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \alpha }$ определяются ${\displaystyle M}$ с точностью до общего множителя ${\displaystyle \beta \neq 0}$.

В топологическом векторном пространстве любая гиперплоскость либо замкнута, либо всюду плотна; для замкнутости гиперплоскости ${\displaystyle \pi }$, определяемой формулой (*), необходима и достаточна непрерывность функционала ${\displaystyle f}$.