Аффинная унимодулярная группа

Аффи́нная унимодуля́рная гру́ппа (эквиаффинная группа), подгруппа общей аффинной группы, состоящая из аффинных преобразований ${\displaystyle n}$-мерного аффинного пространства

${\displaystyle {\widetilde {x^{i}}}=A_{s}^{i}x^{s}+a^{i}}$ (*),

удовлетворяющих условию ${\displaystyle \operatorname {det} \left(A_{j}^{i}\right)=1}$. Если истолковать величины ${\displaystyle x^{i}}$ и ${\displaystyle {\widetilde {x^{i}}}}$ как прямоугольные координаты точек в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве ${\displaystyle E^{n}}$, то преобразование ${\displaystyle (*)}$ сохраняет объёмы ${\displaystyle n}$-мерных областей пространства ${\displaystyle E^{n}}$. Это позволяет ввести понятие объёма в эквиаффинном пространстве – пространстве с фундаментальной аффинной унимодулярной группой. Если в формулах ${\displaystyle (*)}$ положить ${\displaystyle a^{i}=0}$, то возникает центроаффинная унимодулярная группа преобразований, изоморфная группе всех матриц порядка ${\displaystyle n}$ с определителем, равным единице. Такая группа матриц называется унимодулярной группой порядка ${\displaystyle n}$ и обозначается через ${\displaystyle \mathrm {SL} \sim (n)}$.