Аффинная схема

Аффи́нная схе́ма, обобщение понятия аффинного многообразия, играющее роль локального объекта в теории схем. Пусть ${\displaystyle A}$ – коммутативное кольцо с единицей. Аффинная схема состоит из топологического пространства ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ и пучка колец ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$ на ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$. При этом ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ есть множество всех простых идеалов кольца ${\displaystyle A}$ (называемых точками аффинной схемы), наделённое топологией Зариского (или, что то же, спектральной топологией), в которой базис открытых множеств составляют подмножества ${\displaystyle D(f)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A,\;f\in {\mathfrak {p}}\}}$, когда ${\displaystyle f}$ пробегает элементы кольца ${\displaystyle A}$. Пучок локальных колец ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$ определяется условием ${\displaystyle \Gamma (D(f),{\widetilde {A}})=A_{f}}$, где ${\displaystyle A_{f}}$ – кольцо частных кольца ${\displaystyle A}$ относительно мультипликативной системы ${\displaystyle \left\{f^{n}\right\}_{n}\geqslant 0}$.

Аффинные схемы введены А. Гротендиком (Grothendieck. 1960^[1]) при построении теории схем. Схема есть окольцованное пространство, локально изоморфное аффинной схеме.

Аффинная схема ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ называется нётеровой аффинной схемой (соответственно целостной, приведённой, нормальной, регулярной), если кольцо ${\displaystyle A}$ нётерово (соответственно целостно, без нильпотентов, целозамкнуто, регулярно). Аффинная схема называется связной (соответственно неприводимой, дискретной, квазикомпактной), если таковым является топологическое пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$. Пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ аффинной схемы всегда квазикомпактно.

Аффинные схемы образуют категорию, если морфизмами аффинных схем считать морфизмы этих схем как локально окольцованных пространств. Каждый гомоморфизм колец ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}$ определяет морфизм аффинной схемы: ${\displaystyle (\operatorname {Spec} B,{\widetilde {B}})\rightarrow (\operatorname {Spec} A,{\widetilde {A}})}$, состоящий из непрерывного отображения ${\displaystyle {}^{a}\varphi :\sim \operatorname {Spec} B\rightarrow \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \left({}^{a}\varphi ({\mathfrak {p}})=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\right.}$ для ${\displaystyle \left.{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} B\right)}$ и гомоморфизма пучков колец ${\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\widetilde {\mathrm {A} }}\rightarrow {}^{a}\varphi _{*}({\widetilde {B}})}$, переводящего сечение ${\displaystyle a/f^{n}}$ пучка ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$ над множеством ${\displaystyle D(f)}$ в сечение ${\displaystyle \varphi (a)/\varphi \left(f^{n}\right)}$. Морфизмы произвольной схемы ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ в аффинной схеме ${\displaystyle (\operatorname {Spec} A,A)}$ (называемые также ${\displaystyle X}$-значными точками схемы ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$) взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам колец ${\displaystyle A\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$; тем самым сопоставление ${\displaystyle A\mapsto (\operatorname {Spec} A,{\widetilde {A}})}$ является контравариантным функтором из категории коммутативных колец с единицей в категорию аффинных схем, устанавливающим антиэквивалентность этих категорий. В частности, в категории аффинных схем существуют конечные прямые суммы и расслоённые произведения, двойственные конструкциям прямой суммы и тензорного произведения колец. Морфизмы аффинных схем, соответствующие сюръективным гомоморфизмам колец, называются замкнутыми вложениями аффинных схем.

Наиболее важными примерами аффинных схем являются аффинные многообразия; другими примерами служат аффинные групповые схемы.

Подобно тому как строится пучок ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$, для любого ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle M}$ может быть построен пучок ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$-модулей ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ на ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$, для которого

${\displaystyle \Gamma (D(f),{\widetilde {M}})=M_{f}=M{\underset {A}{\otimes }}A_{f}}$.

Такие пучки являются квазикогерентными пучками. Категория ${\displaystyle A}$-модулей эквивалентна категории квазикогерентных пучков ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$-модулей на ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$; проективным модулям соответствуют локально свободные пучки. Когомологии квазикогерентных пучков на аффинных схемах описываются теоремой Серра:

${\displaystyle H^{q}(\operatorname {Spec} A,{\widetilde {M}})=0\,\,{\text{ при }}\,\,q>0}$.

Обращение этой теоремы – критерий аффинности Серра – утверждает, что если ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ – квазикомпактная отделимая схема и ${\displaystyle H^{1}(X,F)=0}$ для любого квазикогерентного пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модулей ${\displaystyle F}$, то ${\displaystyle X}$ есть аффинная схема. Существуют и другие критерии аффинности (Grothendieck. 1960^[2]; Goodman. 1969^[3]).