Аффинное многообразие

Аффи́нное многообра́зие, аффинное алгебраическое многообразие, обобщение понятия аффинного алгебраического множества. Аффинное многообразие есть приведённая аффинная схема ${\displaystyle X}$ конечного типа над полем ${\displaystyle k}$, т. е. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$, где ${\displaystyle A}$ – коммутативная ${\displaystyle k}$-алгебра конечного типа без нильпотентных элементов. Аффинное многообразие ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]}$, где ${\displaystyle k\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]}$ – кольцо многочленов над полем ${\displaystyle k}$, называется аффинным пространством над ${\displaystyle k}$ и обозначается ${\displaystyle A_{k}^{n}}$. Аффинная схема является аффинным многообразием тогда и только тогда, когда она изоморфна приведённой замкнутой подсхеме аффинного пространства. Каждая система образующих ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle k}$-алгебры ${\displaystyle A}$ определяет сюръективный гомоморфизм ${\displaystyle \varphi \colon k\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\rightarrow A}$, задаваемый формулой ${\displaystyle \varphi \left(T_{i}\right)=x_{i}}$. Пусть ${\displaystyle {\bar {k\sim }}}$– алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle k}$. Подмножество множества ${\displaystyle {\bar {\sim k^{n}}}}$, состоящее из общих нулей всех многочленов идеала ${\displaystyle \operatorname {ker} \varphi }$, является аффинным алгебраическим множеством над полем ${\displaystyle k}$. Координатное кольцо такого аффинного алгебраического множества изоморфно кольцу ${\displaystyle A}$. В свою очередь, каждое аффинное алгебраическое множество ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle k}$ определяет аффинное многообразие ${\displaystyle \operatorname {Spec} k[X]}$, где ${\displaystyle k[X]}$ – координатное кольцо ${\displaystyle X}$. При этом множество точек аффинного многообразия находится во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми подмногообразиями соответствующего аффинного алгебраического множества.

С каждым аффинным многообразием ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ связан функтор на категории ${\displaystyle k}$-алгебр, определяемый соответствием

${\displaystyle B\longrightarrow X(B)=\operatorname {Hom} _{k\operatorname {-alg} }(A,B)}$.

В случае когда ${\displaystyle B={\bar {k\sim }}}$ (соответственно ${\displaystyle B=k}$), элементы множества ${\displaystyle X({\bar {k}})}$ [соответственно ${\displaystyle X(k)}$] называются геометрическими (соответственно рациональными) точками аффинного многообразия ${\displaystyle X}$. Множество ${\displaystyle X({\bar {k}})}$ находится в биективном соответствии с множеством максимальных идеалов ${\displaystyle \operatorname {Specm} (A)}$ кольца ${\displaystyle A}$, а также с множеством точек любого аффинного алгебраического множества ${\displaystyle V}$, координатное кольцо которого изоморфно ${\displaystyle A}$. При этом спектральная топология в пространстве ${\displaystyle X}$ индуцирует на всюду плотном подмножестве ${\displaystyle \operatorname {Specm} (A)}$ топологию, которая соответствует топологии Зариского на ${\displaystyle V}$.