Представле́ние ассоциати́вной а́лгебры размерности $n$, гомоморфизм алгебры $A$ над полем $F$ в алгебру матриц $M_n(F)$, т. е. сопоставление каждому $a \in A$ квадратной матрицы $T(a)$ порядка $n$, при котором

$$T(\lambda a+\mu b)=\lambda T(a)+\mu T(b)\; \text { и }\; T(a b)=T(a) T(b),$$где $a, b \in A$, $\lambda, \mu \in F$. Обычно требуется также, чтобы единице алгебры $A$ соответствовала единичная матрица; иногда требуется, чтобы и сама алгебра $A$ была конечномерной.

Всякое неразложимое представление полупростой алгебры эквивалентно прямому слагаемому регулярного представления. Таким образом, всякая полупростая алгебра является алгеброй конечного (представленческого) типа, т. е. имеет конечное число неизоморфных неразложимых представлений. Неполупростые алгебры могут быть как конечного, так и бесконечного представленческого типа (такова, например, $A=\{1, r, s \mid r^2=s^2=r s=s r=0\}$). Алгебры бесконечного типа принято делить ещё на алгебры дикого типа, задача классификации которых содержит в себе классическую нерешённую задачу о паре матриц (т. е. задачу об одновременном приведении к канонической форме двух линейных операторов в конечномерном пространстве), и алгебры ручного типа.

Основными вопросами, изучаемыми в теории представлений ассоциативной алгебры, являются получение необходимых и достаточных условий, при которых алгебра принадлежит одному из перечисленных типов, и классификация неразложимых представлений в конечном и ручном случаях. В общем случае эти задачи не решены. Описание алгебр конечного и ручного типа и их представлений получено для алгебр, у которых квадрат радикала равен нулю (Кругляк. 1972; Назарова. 1973; Dlab. 1976; Donovan. 1974; Gabriel. 1972). Решены проблемы Брауэра – Трэлла, т. е. доказано, что над любым полем алгебра бесконечного типа имеет неразложимые представления сколь угодно большой размерности, а над совершенным полем имеется бесконечно много размерностей, в каждой из которых имеется бесконечно много неразложимых представлений (Назарова. 1973; Ройтер. 1968). Любая алгебра конечного типа над алгебраически замкнутым полем имеет мультипликативный базис, т. е. базис, у которого произведение любых двух его элементов либо равно нулю, либо принадлежит этому базису (Ройтер. 1981). Полностью решён вопрос о разделении групповых алгебр на ручные и дикие (Бондаренко. 1977).

С представлением ассоциативной алгебры тесно связаны представления некоторых других объектов: колчанов, частично упорядоченных множеств, решёток, боксов.