Полукольцо́, непустое множество с двумя ассоциативными бинарными операциями $+$ и $\boldsymbol{\cdot}$, связанными дистрибутивными законами:$$(a+b)\cdot c=a\cdot b+a\cdot c$$и$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.$$В большинстве случаев дополнительно предполагается, что сложение коммутативно и что существует нуль $0$, для которого $a+0=a$ при любом $a$. Важнейшие примеры полукольца – кольца и дистрибутивные решётки. При наличии единицы $1$ относительно умножения оба эти класса объединяются требованием$$\forall\,x\ \exists\,y\ (x+y=1).$$Неотрицательные целые числа с обычными операциями образуют полукольцо, не удовлетворяющее этому требованию.