Потенциа́л Ри́сса ($\alpha$-потенциал), потенциал вида

$$V_\alpha(x)=V(x ; \alpha, \mu)=\int \frac{d \mu(y)}{|x-y|^\alpha},\quad \alpha>0,$$где $\mu$ – положительная борелевская мера с компактным носителем на евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 2$, $|x-y|$ – pacстояние между точками $x, y \in \mathbb{R}^n$. При $n \geq 3$ и $\alpha=n-2$ потенциал Рисса совпадает с классическим ньютоновым потенциалом; при $n=2$ и $\alpha \rightarrow 0$ предельным случаем потенциала Рисса в некотором смысле является логарифмический потенциал. При $n \geqslant 3$ и $0<\alpha \leqslant n-2$ потенциал Рисса есть супергармоническая функция во всём пространстве $\mathbb{R}^n$; при этом в классическом случае $\alpha=n-2$ вне носителя $S^{\prime}(\mu)$ меры $\mu$ потенциал $V(x)=V_{n-2}(x)$ есть гармоническая функция. При $\alpha>n-2$ потенциал Рисса $V_\alpha(x)$ есть субгармоническая функция вне $S(\mu)$. При всех $\alpha>0$ потенциал Рисса $V_\alpha(x)$ – полунепрерывная снизу функция в $\mathbb{R}^n$, непрерывная вне $S(\mu)$.

Из общих свойств потенциала Рисса важнейшими являются следующие. Принцип непрерывности: если $x_0 \in S(\mu)$ и сужение $V_\alpha(x) \mid S(\mu)$ непрерывно в точке $x_0$, то $V_\alpha(x)$ непрерывен в $x_0$ как функция на всем $\mathbb{R}^n$. Oграниченный принцип максимума: если $V_\alpha(x) \mid S(\mu) \leqslant M$, то $V_\alpha(x) \leqslant 2^\alpha M$ всюду в $\mathbb{R}^n$. При $n-2 \leqslant \alpha<n$ справедлив более точный принцип максимума: если $V_\alpha(x) \mid S(\mu) \leqslant M$, то $V_\alpha(x) \leqslant M$ всюду в $\mathbb{R}^n$ (это утверждение остаётся верным и при $n=2$ и $\alpha \rightarrow 0$, т. е. для логарифмического потенциала).

Теория ёмкости для потенциала Рисса строится, например, исходя из понятия $\alpha$-энергии меры $\mu$:

$$E_\alpha(\mu)=\iint \frac{d \mu(x) d \mu(y)}{|x-y|^\alpha},\quad \alpha>0 .$$Для компакта $K$ можно положить

$$V_\alpha(K)=\inf \left\{E_\alpha(\mu)\right\},$$где нижняя грань берётся по всем мерам $\mu$, сосредоточенным на $K$ и таким, что $\mu(K)=1$; тогда $\alpha$-ёмкость равна

$$C_\alpha(K)=\left[V_\alpha(K)\right]^{-1 / \alpha} \text {. }$$Если $V_\alpha(K)<+\infty$, то нижняя грань достигается на сосредоточенной на $K$ ёмкостной мере $\lambda$, $\lambda(K)=1$, порождающей соответствующий ёмкостный $\alpha$-потенциал $V(x ; \alpha, \lambda)$. Дальнейшее построение $\alpha$-ёмкостей произвольных множеств производится так же, как и для классических ёмкостей.

Потенциал Рисса назван по имени М. Рисса (см. Riesz. 1938), получившего ряд важных свойств данного потенциала; впервые такие потенциалы были исследованы О. Фростманом (см. Frostman. 1935).