Заме́на ба́зы, теоретико-категорная конструкция, частными случаями которой являются понятие индуцированного расслоения в топологии, а также понятие расширения кольца скаляров в теории модулей. Пусть $C$ – категория с расслоенными произведениями и $g: S^{\prime} \rightarrow S$ – морфизм этой категории. Замена базы при помощи морфизма $g$ есть функтор из категории $S$-объектов (т. е. из категории морфизмов $f: X \rightarrow S$, где $X$ – объект из $C$) в категорию $S^{\prime}$-объектов, сопоставляющий $S$-объекту $f: X \rightarrow S$ $S^{\prime}$-объект $f^{\prime}: X^{\prime} \rightarrow S^{\prime}$, где $X^{\prime}=X \times{ }_S S^{\prime}$, а морфизм $f^{\prime}$ есть проекция на второй сомножитель. Морфизм $g$ при этом называется морфизмом замены базы. Говорят также, что объект $X^{\prime}$ получен заменой базы из объекта $X$.

Частным случаем понятия замены базы является понятие слоя морфизма $f: X \rightarrow S$ схемы $S$, а именно: слой морфизма $f$ над точкой $s \in S$ есть схема

$$X_s=X \times_Ss,$$т. е. схема, получаемая из $X$ заменой базы при помощи естественного морфизма $s \rightarrow S$. Аналогично определяется геометрический слой $X_s$, он получается заменой базы при помощи морфизма $\operatorname{Sрес }K \rightarrow S$, связанного с точкой $s$, где $K$ – алгебраически замкнутое поле. Многие свойства $S$-схемы $X$ сохраняются при замене базы. Обратная задача – восстановление свойств схемы $X$ по свойствам схемы, полученной из $X$ заменой базы, – рассматривается в теории спуска (Théorie des topos et cohomologie étale des schémas ... 1973).

Пусть морфизм $f^{\prime}: X^{\prime} \rightarrow S^{\prime}$ получен заменой базы при помощи $g: S^{\prime} \rightarrow S$ из морфизма $f: X \rightarrow S$, т. е. задан декартов квадрат$$\begin{CD}X'@>g'>>X \\ @V{f'}VV @VV{f'}V\\S'@>>g> S,\end{CD}$$и пусть $F$ – пучок множеств на $X$. Тогда существует естественное отображение пучков $\psi: g^* f_*(F) \to f_*^{\prime} g^{\prime *}(F)$. Если $F$ – пучок абелевых групп, то для каждого $q \geqslant 0$ существует естественный гомоморфизм пучков

$$\psi_q: g^*\left(R^q f_*(F)\right) \longrightarrow R^q f^{\prime}_*\left(g^{\prime *}(F)\right).$$При этом $\psi$ и $\psi_q$ также называются морфизмами замены базы. Принято говорить, что справедлива теорема о замене базы, если $\psi$ или соответственно $\psi_q$ являются изоморфизмами. Иначе говоря, теорема о замене базы – это утверждение о согласованности (коммутировании) функторов $R^q f_*$ с функтором замены базы. В частности, если $g$ есть вложение точки $s \in S$, то теорема о замене базы означает существование естественного изоморфизма$\left(R^q f_*(F)\right)_x \overset{\sim}{\rightarrow} H^q\left(X_x, F |_{X_x}\right)$ между слоем $q$-го прямого образа пучка $F$ и $q$-мерной группой когомологий слоя морфизма $f$. Теорема о замене базы справедлива в следующих ситуациях: 1) $f$ – собственное отображение паракомпактных топологических пространств, $S$ – локально компактное пространство (Годеман. 1961); 2) $f$ – отделимый квазикомпактный морфизм схем, $g$ – плоский морфизм, $F$ – квазикогерентный пучок $O_X$-модулей [теорему о сравнении когомологий обычных и формальных схем (Grothendieck. 1961) также можно интерпретировать как теорему о замене базы]; 3) $f$ – собственный морфизм схем, $F$ – пучок кручения в этальной топологии. Некоторые другие случаи, в которых справедлива теорема o замене базы, рассмотрены в (Théorie des topos et cohomologie étale des schémas ... 1973).