Сме́шанное произведе́ние, операция, определяемая для трёх векторов $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$, заданных в трёхмерном пространстве, результатом которой является число, равное скалярному произведению векторного произведения $\vec a$ и $\vec b$ на вектор $\vec c$: $$\vec a\,\vec b\, \vec c = [\vec a\, \vec b] \,\vec c.$$Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не изменится, если в нём поменять местами знаки векторного и скалярного произведения, т. е. $$\vec a\,\vec b\, \vec c = [\vec a\, \vec b] \,\vec c= \vec a\,[\vec b\, \vec c].$$2. Смешанное произведение не изменится, если переставлять сомножители в круговом порядке: $$\vec a \,\vec b\, \vec c = \vec c\, \vec a\, \vec b = \vec b \,\vec c\, \vec a.$$3. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак: $$\vec a \,\vec b\, \vec c=-\vec b \,\vec a\, \vec c,\quad \vec a \,\vec b\, \vec c =-\vec c \,\vec b\, \vec a,\quad \vec a \,\vec b\, \vec c=-\vec a \,\vec c\, \vec b.$$4. Смешанное произведение положительно, если векторы $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$ образуют правую тройку векторов, смешанное произведение отрицательно, если векторы $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$ образуют левую тройку векторов.

5. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы $\vec a,$ $\vec b$ и $\vec c$ компланарны.

6. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Смешанное произведение векторов $\vec a=\{x_1,y_1,z_1\}$, $\vec b=\{x_2,y_2,z_2\}$, $\vec c=\{x_3,y_3,z_3\}$ в правой декартовой системе координат задается формулой $$\vec a\,\vec b\,\vec c=\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}.$$В левой декартовой системе координат смешанное произведение векторов определяется по формуле $$\vec a\,\vec b\,\vec c=-\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}.$$

Квадрат смешанного произведения векторов $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$ равен определителю Грама, определяемому этими векторами: $$\left(\vec a\,\vec b\,\vec c\,\right)^2=\begin{vmatrix}(\vec a, \vec a) & (\vec a, \vec b) & (\vec a, \vec c) \\ (\vec b, \vec a) & (\vec b, \vec b) & (\vec b, \vec c) \\ (\vec c, \vec a) & (\vec c, \vec b) & (\vec c, \vec c) \end{vmatrix}.$$Геометрический смысл смешанного произведения (геометрический смысл определителя 3-го порядка): объем параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$, равен модулю смешанного произведения: $$V_{\text{пар}}=\left|\vec a\,\vec b\,\vec c\right|,$$а объем образованной этими векторами треугольной пирамиды: $$V_{\text{пир}}=\frac16\left|\vec a\,\vec b\,\vec c\right|.$$

Геометрический смысл смешанного произведения.Геометрический смысл смешанного произведения.

В $n$-мерном пространстве смешанным произведением векторов $\vec a_1, \vec a_2, \ldots, \vec a_n$ называется определитель матрицы $n\times n$, строками или столбцами которой являются координаты векторов. Смыслом этой величины является ориентированный $n$-мерный объём.