Унимода́льное распределе́ние (одновершинное распределение), вероятностная мера на прямой, функция распределения которой $F(x)$ выпукла при $x<a$ и вогнута при $x>a$ для некоторого действительного $a$. Число a в этом случае называется модой (вершиной) и определяется, вообще говоря, неоднозначно; точнее, множество мод (вершин) данного унимодального распределения образует замкнутый интервал – возможно, вырожденный.

Примерами унимодального распределения служат нормальное распределение, равномерное распределение, распределение Коши, распределение Стьюдента, распределение хи-квадрат. А. Я. Хинчин (Хинчин. 1938) получил следующий критерий унимодальности: для того чтобы функция $f(t)$ была характеристической функцией унимодального распределения с модой в нуле, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление

$$f(t)=\frac{1}{t} \int_0^t \varphi(u)\, d u, \quad f(0)=1,$$где $\varphi(u)$ – некоторая характеристическая функция. В терминах функций распределения это равенство эквивалентно следующему:

$$F(x)=\int_0^1 G\left(\frac{x}{u}\right)\, d u,$$где $F(x)$ и $G(x)$ соответствуют $f(t)$ и $\varphi(t)$. Иными словами, $F(x)$ унимодальна тогда и только тогда, когда она является функцией распределения произведения двух независимых случайных величин, одна из которых распределена равномерно на отрезке $[0,1]$.

Для распределений, которые задаются своими характеристическими функциями (как, например, для устойчивого распределения), проверка факта их унимодальности представляет трудную аналитическую задачу. Кажущийся естественным путь представления данного распределения как предела композиции унимодального распределения не приводит к цели, т. к., вообще говоря, композиция двух унимодальных распределений не будет унимодальным распределением (хотя для симметричных распределений унимодальность сохраняется при композиции и долгое время казалось, что так будет в общем случае). Например, если $F$ имеет плотность

$$p(x)=1, \quad 0<x \leqslant \frac{5}{6}\,\, \text { и }\,\, p(x)=0$$в других случаях, то плотность композиции $F$ с $F$ имеет два максимума. Поэтому было введено (Ибрагимов. 1956) понятие сильной унимодальности (сильной одновершинности): распределение называется сильно унимодальным (сильно одновершинным), если его свёртка с любым унимодальным распределением унимодальна. Всякое сильно унимодальное распределение является унимодальным распределением.

Решётчатое распределение, приписывающее точкам $a+h k$, $k=0, \pm 1, \ldots$, $h>0$, вероятности $p_k$ называются унимодальным распределением, если существует такое целое $k_0$, что $p_k$ как функция от $k$ является неубывающей при $k \leqslant k_0$ и невозрастающей при $k \geqslant k_0$. Примерами решётчатых унимодальных распределений являются распределение Пуассона, биномиальное распределение, геометрическое распределение.

Некоторые результаты, касающиеся распределений, могут быть усилены в предположении унимодальности. Так, например, неравенство Чебышёва для случайной величины $\xi$, имеющей унимодальное распределение, можно уточнить следующим образом:

$$\mathbf{P}\left\{\left|\xi-x_0\right| \geqslant k \zeta\right\} \leqslant \frac{4}{9 k^2}$$ – для любого $k>0$, где $x_0$ – мода, а $\zeta^2=\mathbf{E}\left(\xi-x_0\right)^2$.