Геометрическое распределение

Геометри́ческое распределе́ние, распределение вероятностей случайной величины ${\displaystyle X}$, принимающей целые значения ${\displaystyle m=0,1,2,\ \ldots }$ с вероятностями

${\displaystyle p_{m}={\mathsf {P}}\lbrace X=m\rbrace =p(1-p)^{m}}$.

Математическое ожидание и дисперсия ${\displaystyle X}$ равны соответственно ${\displaystyle (1-p)/p\ {\text{и}}\ (1-p)/p^{2}}$. Название «геометрическое распределение» отражает тот факт, что при росте ${\displaystyle m}$ вероятности ${\displaystyle p_{m}}$ убывают в геометрической прогрессии. Число испытаний, предшествующих первому успеху схемы Бернулли имеет геометрическое распределение.

Геометрическое распределение обладает свойством отсутствия последствия: если случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет геометрическое распределение, то для любых целых неотрицательных ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}\lbrace X\geq n+m\mid X\geq m\rbrace ={\mathsf {P}}\lbrace X\geq n\rbrace }$,

т. е. указанная условная вероятность не зависит от ${\displaystyle m}$. Это свойство позволяет говорить о геометрическом распределении как о дискретном аналоге показательного распределения.