Тео́рия поле́й кла́ссов, теория, дающая описание всех абелевых расширений (конечных расширений Галуа с абелевой группой Галуа) поля $K$, принадлежащего к одному из следующих типов: 1) $K$ – поле алгебраических чисел, т. е. конечное расширение поля $\mathbb{Q}$; 2) $K$ – конечное расширение поля рациональных $p$-адических чисел $\mathbb{Q}_p$; 3) $K$ – поле алгебраических функций одной переменной над конечным полем; 4) $K$ – поле формальных степенных рядов над конечным полем.

Основные теоремы теории полей классов были сформулированы и доказаны в частных случаях Л. Кронекером, Г. Вебером, Д. Гильбертом и др. (см. также Алгебраическая теория чисел).

Поля типа 2) и 4) называются локальными, а поля типа 1) и 3) – глобальными. Соответственно, можно говорить о локальной и глобальной теории полей классов.

В локальной теории полей классов каждому конечному абелеву расширению $L / K$ с группой Галуа $G(L / K)$ ставится в соответствие норменная подгруппа $N_{L / K}\left(L^*\right)$ мультипликативной группы $K^*$ поля $K$. Группа $N_{L / K}\left(L^*\right)$ полностью определяет поле $L$, и существует канонический изоморфизм $\varphi: G(L / K) \simeq K^* / N_{L / K}\left(L^*\right)$ (основной изоморфизм теории полей классов). Явный вид этого изоморфизма дает теория формального комплексного умножения (см. Вейль. 1972. С. 140–147). Наоборот, любая открытая подгруппа конечного индекса в $K^*$ реализуется как норменная подгруппа для некоторого абелева расширения $L$ (теорема существования).

Если $L$ и $L_1$ – конечные абелевы расширения поля $K$, $M=L \cap L_1$ и $N=L \cdot L_1$, то справедливы соотношения$$\tag{1} \left.\begin{array}{l} N_{M / K}\left(M^*\right)=N_{L / K}\left(L^*\right) N_{L_1 / K}\left(L_1^*\right), \\ N_{N / K}\left(N^*\right)=N_{L / K}\left(L^*\right) \cap N_{L_1 / K}\left(L_1^*\right) . \end{array}\right\}$$Включение $L_1 \supseteq L$ выполняется тогда и только тогда, когда$$N_{L / K}\left(L^*\right) \supset N_{L_1 / K}\left(L_1^*\right),$$причем в этом случае диаграмма$$\tag{2}\begin{aligned} G\left(L_1 / K\right) & \stackrel{\varphi}{\simeq} K^* / N_{L_1 / K}\left(L^*\right) \\ \downarrow \alpha & \quad\quad\quad \downarrow \beta \\ G(L / K) & \stackrel{\varphi}{\simeq} K^* / N_{L / K}\left(L^*\right), \end{aligned}$$где $\alpha$ получен ограничением автоморфизмов с $L_1$ на $L$, а $\beta$ индуцирован тождественным отображением $K^* \rightarrow K^*$, коммутативна. В частности, если $K^{a b}$ – максимальное абелево расширение поля $K$, то группа Галуа $G\left(K^{a b} / K\right)$ канонически изоморфна проконечному пополнению группы $K^*$.

Изоморфизм $\varphi$ даёт также описание последовательности подгрупп ветвления в $G(L / K)$. Так, расширение $L / K$ не разветвлено тогда и только тогда, когда группа единиц $U(K)$ поля $K$ содержится в группе $N_{L / K}\left(L^*\right)$. В этом случае изоморфизм $\varphi$ полностью определяется тем, что автоморфизм Фробениуса, порождающий группу $G(L / K)$, переходит в класс $\pi \cdot N_{L / K}\left(L^*\right)$, где $\pi$ – простой элемент поля $K$.

На языке когомологий групп изоморфизм $\varphi$ интерпретируется как изоморфизм между группами когомологий Тейта$$H^{-2}(G(L / K), \mathbb{Z}) \simeq G(L / K)$$и$$H^0\left(G(L / K), L^*\right)=K^* / N_{L / K}\left(L^*\right).$$Более того, пусть $L / K$ – произвольное конечное расширение Галуа локальных полей. Тогда для любого целого $n$ определён канонический изоморфизм $\varphi_n$:$$H^{n-2}(G(L / K), \mathbb{Z}) \simeq H^n\left(G(L / K), L^*\right).$$Если задана башня полей Галуа $M \supset L \supset K$, то инфляция$$\text { inf: } H^2\left(G(L / K), L^*\right) \longrightarrow H^2\left(G(M / K), M^*\right)$$сохраняет инвариант (см. Группa Брауэра), а ограничение$$\text { res: } H^2\left(G(M / K), M^*\right) \longrightarrow H^2\left(G(M / L), M^*\right)$$умножает инвариант на $[L: K]$. Если $\bar{K}$ – сепарабельное замыкание поля $K$, то инвариант определяет канонический изоморфизм между группой Брауэра поля $K$$$\operatorname{Br}(K) \simeq H^2(G(\bar{K} / K), \bar{K}^*)$$и $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$.

В глобальной теории полей классов роль мультипликативной группы поля играет группа классов иделей. Пусть $L / K$ – конечное расширение Галуа глобальных полей и $I_L$ – группа иделей поля $L$. Группа $L^*$ вкладывается в $I_L$ в качестве дискретной подгруппы (она называется группой главных иделей), а факторгруппа $C_L=I_L / L^*$, наделённая фактортопологией, называется группой классов иделей. Доказывается, что $H^1\left(G(L / K), C_L\right)=1$ и $H^2\left(G(L / K), C_L\right) \simeq \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$, где $n=[L: K]$. Существует каноническое вложение $\operatorname{inv}: H^2\left(G(L / K), C_L\right) \rightarrow \mathbb{Q} / \mathbb{Z}$. Как и в локальной теории полей классов, для любого целого $n$ определён изоморфизм (основной изоморфизм глобальной теории полей классов)$$\psi_n: H^{n-2}(G(L / K), \mathbb{Z}) \simeq H^n\left(G(L / K), C_L\right).$$Для абелева расширения $L / K$ изоморфизм $\psi_0$ сводится к изоморфизму $\psi: G(L / K) \simeq C_K / N_{L / K}\left(C_L\right).$ Hopменная подгруппа $N_{L / K}\left(C_L\right)$ однозначно определяет поле $L$, и наоборот, любая открытая подгруппа конечного индекса в $C_K$ является норменной подгруппой для некоторого конечного абелева расширения $L$ (глобальная теорема существования). Соотношения, аналогичные (1) и (2), остаются справедливыми и для глобальных полей. Если $K^{a b}$ – максимальное абелево расширение поля $K$, то в функциональном случае группа $G\left(K^{a b} / K\right)$ изоморфна проконечному пополнению группы $C_K$, а в числовом случае группа $G\left(K^{a b} / K\right)$ изоморфна факторгруппе группы $C_K$ по связной компоненте.

Изоморфизмы $\varphi_n$ и $\psi_n$ согласованы. Если $L / K$ конечное расширение Галуа глобальных полей, $L_v$ – пополнение поля $L$ относительно некоторой точки $v$ и $K_v$ – пополнение поля $K$ относительно ограничения $v$ на $K$, то существует коммутативная диаграмма$$\tag{3} \begin{aligned} \psi_n: H^{n-2}(G(L / K), \mathbb{Z}) & \simeq H^n\left(G(L / K), C_L\right), \\ \uparrow \text { cores } & \quad\quad\quad\quad\quad\uparrow f \\ \varphi_n: H^{n-2}\left(G\left(L_v / K_v\right), \mathbb{Z}\right) & \simeq H^n\left(G\left(L_v / K_v\right), L^*\right), \end{aligned}$$где отображение $f$ индуцировано вложением $L^*-I_L \rightarrow C_L$ и коограничением $\operatorname{cores}$. Для $n=0$ (3) даёт коммутативную диаграмму$$\tag{4} \begin{aligned} \psi: G(L / K&) /[G(L / K), G(L / K)] \simeq C_K / N_{L / K}\left(C_L\right)\\ &\uparrow \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\uparrow \\ \varphi: G\left(L_v / K_v\right) /&\left[G\left(L_v / K_v\right), G\left(L_v / K_v\right)\right] \simeq K_v^* / N_{L_v / K_v}\left(L_v^*\right). \end{aligned}$$Диаграмма (4) позволяет получить закон разложения простых дивизоров поля $K$ в абелевом расширении $L / K$. Именно: дивизор $\mathfrak{c}$ поля $K$ не разветвлен в $L$ (вполне распадается в $L$ ) тогда и только тогда, когда $U\left(K_\mathfrak{c}\right) \subset N_{L / K}\left(G_L\right)$ (соответственно $K^* \subset N_{L / K}\left(G_L\right)$).

Если $\mathfrak{c}$ – некоторый простой дивизор поля $K$, не разветвлённый в $L$, $v$ – точка поля $K$, соответствующая $\mathfrak{c}$, и $\pi$ – простой элемент поля $K_v$, то определён символ Артина $\left(\frac{L / K}{\mathfrak{c}}\right)=\psi^{-1}(\pi) \in G(L / K)$, зависящий только от $\mathfrak{c}$. Элемент $\left(\frac{L / K}{\mathfrak{c}}\right)$ – это автоморфизм Фробениуса в подгруппе разложения точки $v$. Согласно теореме плотности Чеботарёва любой элемент группы $G(L / K)$ имеет вид $\left(\frac{L / K}{\mathfrak{c}}\right)$ для бесконечного числа простых дивизоров $\mathfrak{c}$ поля $K$.

Например, максимальное абелево неразветвлённое расширение числового поля $K$ (называемое гильбертовым полем классов) – это поле, норменная подгруппа которого совпадает с образом относительно проекции $I_{K}\rightarrow C_K$ группы $K^* \times \prod_v U\left(K_v\right)$, где $v$ пробегает все точки поля $K$. Группа $I_K / K^* \times \prod_v U\left(K_v\right)$ канонически изоморфна группе классов дивизоров $\mathrm{Cl}_K$ поля $K$, что дает важный изоморфизм $G(F / K) \simeq \mathrm{Cl}_K$. В частности, над $K$ нет неразветвлённых абелевых расширений тогда и только тогда, когда поле $K$ одноклассно.

Тип разложения простого дивизора с поля $K$ в $F$ полностью определяется классом $\mathfrak{c}$ в $\mathrm{Cl}_\mathfrak{c}$. Вполне распадаются в $F$ все главные дивизоры и только они. Все дивизоры поля $K$ становятся главными в $F$.

Подобно тому как теорию полей классов для абелевых неразветвлённых расширений можно излагать на языке группы классов дивизоров и её подгрупп, можно дать характеризацию любого конечного абелева расширения поля $K$ в терминах группы лучевых классов по некоторому модулю (см. Алгебраическая теория чисел). Существует также обобщение теории полей классов на случай бесконечных расширений Галуа (Кузьмин. 1969).

Хотя теория полей классов возникла как теория абелевых расширений, её результаты дают важную информацию и для неабелевых расширений Галуа. Например, на теории полей классов основано доказательство существования бесконечных башен полей классов.