Теория ошибок

Тео́рия оши́бок, раздел математической статистики, посвящённый построению выводов о численных значениях приближённо измеренных величин и об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, т. к. каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают три основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки постоянно либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на результаты измерений и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики. Например, в астрономии при измерении величины угла между направлением на светило и плоскостью горизонта систематическая ошибка является суммой двух ошибок: систематической ошибки, которую даёт прибор при отсчёте данного угла (инструментальная ошибка) и систематической ошибки, обусловленной преломлением лучей света в атмосфере (рефракция). Инструментальная ошибка учитывается с помощью таблицы или графика поправок для данного прибора; ошибку, связанную с рефракцией (для углов, меньших 80°), можно достаточно точно вычислить теоретически. Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, как правило, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредсказуемым образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результата.

Теория ошибок занимается изучением лишь случайных и грубых ошибок. Основные задачи теории ошибок: определение законов распределения случайных ошибок, построение статистических оценок неизвестных величин по результатам измерений, вычисление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.

Пусть в результате $n$ независимых измерений некоторой неизвестной величины $\mu$ получены значения $X_1,X_2,\dots,X_n$. Разности

$\delta_1=X_1-\mu,\, \delta_2=X_2-\mu, \,\dots, \, \delta_n=X_n-\mu$называются истинными ошибками; в терминах вероятностной теории ошибок все $\delta_i$ рассматриваются как случайные величины, независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин $\delta_1, \dots, \delta_n$. При этом измерения называются равноточными (в широком смысле), если эти величины имеют одно и то же распределение. Т. о., истинные ошибки равноточных измерений суть независимые одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание истинных ошибок $b=\text{E}\delta_1=\ldots =\text{E}\delta_n$ называется систематической ошибкой, а разности $\delta_1-b,\dots,\delta_n-b$ – случайными ошибками. Отсутствие систематической ошибки означает, что $b=0$, в этом случае $\delta_1,\dots,\delta_n$ суть случайные ошибки. Величину $1/(\sqrt{2}\sigma)$, где $\sigma$ – квадратичное отклонение ошибок $\delta_1,\dots,\delta_n$, называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности есть $1/\sqrt{2(b^2+\sigma^2)}$. Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений.

В качестве оценки неизвестной величины $\mu$ обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений $X_1,\dots,X_n$:

$\displaystyle\overline X=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i,$а разности $\Delta_1=X_1- \overline X, \dots, \Delta_n - \overline X$ называются кажущимися ошибками. Выбор $\overline X$ в качестве оценки для $\mu$ основан на том, что при достаточно большом числе $n$ равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка $\overline X$ с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины $\mu$ (это связано с Законом больших чисел); оценка $\overline X$ лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещёнными оценками); дисперсия этой оценки есть

$\text D\overline X=\text E(\overline X-\mu)^2=\sigma^2/n.$Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки имеют распределения, близкие к нормальным (это объясняется центральной предельной теоремой). В этом случае распределение величины $\overline X$ мало отличается от нормального распределения с математическим ожиданием $\mu$ и дисперсией $\sigma^2/n$. Если распределение величин $\delta_1,\dots,\delta_n$ в точности нормально, то дисперсия всякой другой несмещённой оценки для $\mu$, например медианы, не меньше $\text D\overline X$. Если же распределение величин $\delta_1,\dots,\delta_n$ отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.

Если дисперсия $\sigma^2$ отдельных измерений заранее неизвестна, то для её оценки пользуются величиной

$\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}\Delta^2_i;$

$s^2$ – несмещённая оценка для $\sigma^2$, т. к. $\text E s^2=\sigma^2$.

Если случайные ошибки $\delta_1,\dots,\delta_n$ имеют нормальное распределение, то отношение

$t=\dfrac{(\overline X -\mu)\sqrt{n}}{s}$имеет распределение Стьюдента с $n-1$ степенью свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства $\mu \approx \overline X$ (см. Метод наименьших квадратов). Величина

$\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$при тех же предположениях имеет распределение хи-квадрат с $n-1$ степенью свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства $\sigma \approx s$. Относительная погрешность $|s-\sigma|/s$ не превосходит числа $q$ с вероятностью

$\omega=F(z^2,n-1)-F(z_1,n-1),$где $F(z, n-1)$ – функция распределения хи-квадрат, а

$z_1=\dfrac{\sqrt{n-1}}{1+q},\quad z_2 = \dfrac{\sqrt{n-1}}{1-q}.$