Научные теории, концепции, гипотезы, модели

Теория ошибок

Тео́рия оши́бок, раздел , посвящённый построению выводов о численных значениях приближённо измеренных величин и об . Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, т. к. каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают три основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки постоянно либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на результаты измерений и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики. Например, в астрономии при измерении величины угла между направлением на светило и плоскостью горизонта систематическая ошибка является суммой двух ошибок: систематической ошибки, которую даёт прибор при отсчёте данного угла (инструментальная ошибка) и систематической ошибки, обусловленной преломлением лучей света в атмосфере (рефракция). Инструментальная ошибка учитывается с помощью таблицы или графика поправок для данного прибора; ошибку, связанную с рефракцией (для углов, меньших 80°), можно достаточно точно вычислить теоретически. Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, как правило, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредсказуемым образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результата.

Теория ошибок занимается изучением лишь случайных и грубых ошибок. Основные задачи теории ошибок: определение законов распределения случайных ошибок, построение неизвестных величин по результатам измерений, вычисление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.

Пусть в результате nn независимых измерений некоторой неизвестной величины μ\mu получены значения X1,X2,,XnX_1,X_2,\dots,X_n. Разности

δ1=X1μ,δ2=X2μ,,δn=Xnμ\delta_1=X_1-\mu,\, \delta_2=X_2-\mu, \,\dots, \, \delta_n=X_n-\muназываются истинными ошибками; в терминах вероятностной теории ошибок все δi\delta_i рассматриваются как , независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин δ1,,δn\delta_1, \dots, \delta_n. При этом измерения называются равноточными (в широком смысле), если эти величины имеют одно и то же распределение. Т. о., истинные ошибки равноточных измерений суть независимые одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание истинных ошибок b=Eδ1==Eδnb=\text{E}\delta_1=\ldots =\text{E}\delta_n называется систематической ошибкой, а разности δ1b,,δnb\delta_1-b,\dots,\delta_n-b – случайными ошибками. Отсутствие систематической ошибки означает, что b=0b=0, в этом случае δ1,,δn\delta_1,\dots,\delta_n суть случайные ошибки. Величину 1/(2σ)1/(\sqrt{2}\sigma), где σ\sigma ошибок δ1,,δn\delta_1,\dots,\delta_n, называют (при наличии систематической ошибки мера точности есть 1/2(b2+σ2)1/\sqrt{2(b^2+\sigma^2)}. Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений.

В качестве оценки неизвестной величины μ \mu обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений X1,,XnX_1,\dots,X_n:

X=1ni=1nXi,\displaystyle\overline X=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i,а разности Δ1=X1X,,ΔnX\Delta_1=X_1- \overline X, \dots, \Delta_n - \overline X называются кажущимися ошибками. Выбор X\overline X в качестве оценки для μ\mu основан на том, что при достаточно большом числе nn равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка X\overline X с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины μ\mu (это связано с ); оценка X\overline X лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются ); этой оценки есть

DX=E(Xμ)2=σ2/n.\text D\overline X=\text E(\overline X-\mu)^2=\sigma^2/n.Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки имеют распределения, близкие к (это объясняется ). В этом случае распределение величины X\overline X мало отличается от нормального распределения с μ\mu и дисперсией σ2/n\sigma^2/n. Если распределение величин δ1,,δn\delta_1,\dots,\delta_n в точности нормально, то дисперсия всякой другой несмещённой оценки для μ\mu, например , не меньше DX\text D\overline X. Если же распределение величин δ1,,δn\delta_1,\dots,\delta_n отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.

Если дисперсия σ2\sigma^2 отдельных измерений заранее неизвестна, то для её оценки пользуются величиной

s2=1n1i=1nΔi2;\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}\Delta^2_i;

s2s^2 – несмещённая оценка для σ2\sigma^2, т. к. Es2=σ2\text E s^2=\sigma^2.

Если случайные ошибки δ1,,δn\delta_1,\dots,\delta_n имеют нормальное распределение, то отношение

t=(Xμ)nst=\dfrac{(\overline X -\mu)\sqrt{n}}{s}имеет с n1n-1 степенью свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства μX\mu \approx \overline X (см. ). Величина

χ2=(n1)s2σ2\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}при тех же предположениях имеет с n1n-1 степенью свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства σs\sigma \approx s. Относительная погрешность sσ/s|s-\sigma|/s не превосходит числа qq с

ω=F(z2,n1)F(z1,n1),\omega=F(z^2,n-1)-F(z_1,n-1), где F(z,n1)F(z, n-1) – функция распределения хи-квадрат, а

z1=n11+q,z2=n11q.z_1=\dfrac{\sqrt{n-1}}{1+q},\quad z_2 = \dfrac{\sqrt{n-1}}{1-q}.

Первая публикация: Большая российская энциклопедия, 2014.
  • Математическая статистика
  • Статистические оценки
  • Случайные ошибки