Теоре́ма Короми́наса – Сунье́ра, теорема дифференциального исчисления. Она гласит: если $f$ – бесконечно дифференцируемая функция на открытом интервале $(a,b)$ вещественной прямой (интервал может быть неограниченным, т. е. $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$) и для каждого $x\in (a,b)$ найдётся целое $n\geqslant 0$ (зависящее от $x$), такое, что $f^{(n)}(x)=0$, то функция $f$ является полиномом. [Здесь $f^{(n)}(x)$ обозначает производную $n$-го порядка в точке $x$; при этом $f^{(0)}(x)=f(x)$.]

Эта теорема существенно ослабляет стандартное необходимое и достаточное условие тождественного равенства нулю производной функции $f$ некоторого порядка $n$ для того, чтобы функция $f$ была полиномом. Теорема доказана Э. Короминасом-и-Виньо и Ф. Суньером-и-Балагером; вместе с этой теоремой ими также были доказаны следующие её варианты и обобщения (результаты объявлены в Corominas. Sur des conditions… 1954; доказательства приведены в Corominas. Condiciones para... 1954):

1. Если $H$ – не более чем счётное подмножество вещественной прямой, $f\in C^{\infty}(a,b)$, и для каждого $x\in (a,b)$ найдётся целое $n\geqslant 0$, такое, что $f^{(n)}(x)\in H$, то функция $f$ является полиномом. Отсюда, в частности, следует, что если функция $f\in C^{\infty}(a,b)$ не является полиномом, то найдётся точка $x\in (a,b)$, в которой производные всех порядков функции $f$ являются иррациональными (и даже трансцендентными) числами. Кроме того, здесь вместо не более чем счётности множества $H$ можно требовать, чтобы его мощность была строго меньше мощности континуума (без принятия континуум-гипотезы).

2. Если $f\in C^\infty(a,b)$ и $\varphi_1, \varphi_2,\ldots$ – последовательность (необязательно различных) функций из некоторого квазианалитического класса $\Phi\subset C^{\infty}(a,b)$, причём для каждой точки $x\in(a,b)$ найдутся целые $n\geqslant 0$ и $k\geqslant 1$, такие, что $$f^{(n)}(x)=\varphi_k^{(n)}(x),$$то существует $k_0\geqslant 1$, такое, что $f(x)-\varphi_{k_0}(x)$ является полиномом. [Здесь квазианалитический класс может пониматься абстрактно, т. е. как множество $\Phi\subset C^{\infty}(a,b)$, обладающее следующим свойством единственности: если две функции $\varphi$ и $\psi$, входящие в $\Phi$, совпадают в некоторой точке $x\in(a,b)$ вместе со всеми своими производными, то они совпадают на всём интервале $(a,b)$.]

3. Пусть функция $f$ имеет на $(a,b)$ производные вплоть до порядка $k\geqslant 1$ (непрерывность производной порядка $k$ не требуется) и для каждого $x\in (a,b)$ найдётся целое $n$, $0\leqslant n\leqslant k$, такое, что $f^{(n)}(x)=0$. Тогда функция $f$ является полиномом степени $<k$.

Существует следующее обобщение теоремы Короминаса – Суньера на случай функции многих переменных (Boghossian. 1990): пусть $D$ – область в $\mathbb R^m$ и $f\in C^{\infty}(D)$, причём для каждого $y\in D$ найдутся неотрицательные целые числа $n_i$, $i=1,\ldots,m$, такие, что

$$\tag{1}\frac{\partial^{n_i}f}{\partial x_i^{n_i}}(y)=0,\quad i=1,\ldots, m;$$тогда $f$ является полиномом (от $m$ переменных). Вместо равенства нулю частных производных в (1) можно требовать лишь их принадлежность заранее заданному множеству $H\subset\mathbb{R}$ мощности, строго меньшей мощности континуума.