Стохасти́ческий интегра́л, интеграл «$\int H d X$» по семимартингалу $X$, определённый для всякого локально ограниченного предсказуемого процесса $H=\left(H_t, \mathscr{F}_t\right)$. Одна из возможных конструкций стохастического интеграла состоит в следующем. Сначала стохастический интеграл определяется для простых предсказуемых процессов $H$, имеющих вид

$$H_t=h(\omega) I_{(a, b]}(t),\quad a<b.$$В этом случае под стохастическим интегралом $\int_0^t H_s \, d X_s$ [или $(H \cdot X)_t$, или $\int_{(t, 0]} H_s\, d X_s$] понимают величину

$$h(\omega)\left(X_{b \wedge t}-X_{a \wedge t}\right).$$Отображение $H \sim \rightarrow H \cdot X$, где

$$H \cdot X=(H \cdot X)_t,\quad t \geqslant 0,$$допускает продолжение (обозначаемое $H \cdot X$) на множество всех ограниченных предсказуемых функций, обладающее следующими свойствами:

a) процесс $(H \cdot X)_t$, $t \geqslant 0$, является непрерывным справа и имеющим пределы слева;

б) $H \sim \rightarrow H \cdot X$ линейно, т. е.

$$\left(c H_1+H_2\right) \cdot X=c\left(H_1 \cdot X\right)+H_2 \cdot X;$$в) если $\left\{H^n\right\}$ – последовательность предсказуемых равномерно ограниченных функций, $H$ – предсказуемая функция и

$$\sup _{s \leqslant t}\left|H_s^n-H_s\right| \stackrel{\mathrm{P}}{\longrightarrow} 0,\quad t>0,$$тo

$$\left(H^n \cdot X\right)_t \stackrel{\mathrm{P}}{\longrightarrow}(H \cdot X)_t,\quad t>0 .$$При этом продолжение $H \cdot X$ единственно в том смысле, что если $H \sim \rightarrow\alpha(H)$ – другое отображение со свойствами а) – в), то $H \cdot X$ и $\alpha(H)$ стохастически неразличимы.

Определение

$$(H \cdot X)_t=h(\omega)\left(X_{b \wedge t}-X_{a \wedge t}\right),$$данное для функций $H_t=h(\omega) I_{(a, b]}(t)$, имеет смысл для любого процесса $X$, а не только для семимартингала. Продолжение $H \cdot X$ с указанными свойствами а) – в) на класс ограниченных предсказуемых процессов оказывается возможным лишь для того случая, когда $X$ есть семимартингал. В этом смысле класс семимартингалов является тем максимальным классом, для которого определён стохастический интеграл с естественными свойствами а) – в).

Если $X$ – семимартингал, а $T=T(\omega)$ – марковский момент, то «остановленный процесс» $X^T=\left(X_{t \wedge T}, \mathscr{F}_t\right)$ также является семимартингалом и для всякого предсказуемого ограниченного процесса $H$:

$$(H \cdot X)^T=H \cdot X^T=\left(H I_{\llbracket 0, T \rrbracket}\right) \cdot X.$$Это свойство позволяет распространить определение стохастического интеграла и на класс локально ограниченных предсказуемых функций $H$. Если $T_n$ – локализующая (для $H$) последовательность марковских моментов, то $H^{T_n}$ ограниченны. Значит, $H \cdot I_{\llbracket 0, T \rrbracket}$ ограниченны и

$$\left[\left(H I_{\llbracket 0, T_{n+1}\rrbracket}\right) \cdot X\right]^{T_n}$$стохастически неотличим от $H I_{\llbracket 0, T_n \rrbracket} \cdot X$. Поэтому существует такой процесс $H \cdot X$, называемый снова стохастическим интегралом, что

$$(H \cdot X)^{T_n}=H I_{\llbracket 0, T_n \rrbracket} \cdot X,\quad n \geqslant 0.$$Построенный стохастический интеграл $H \cdot X$ обладает свойствами: $H \cdot X$ – семимартингал; отображение $X \sim \rightarrow H \cdot X$ линейно; если $X$ – процесс локально ограниченной вариации, то таков же и интеграл $H \cdot X$; при этом $H \cdot X$ совпадает с интегралом Стилтьеса от $H$ по $d X$; $\Delta(H \cdot X)= H \Delta X$; $K \cdot(H \cdot X)=(K H) \cdot X$.

В зависимости от дополнительных предположений на $X$ стохастический интеграл $H \cdot X$ удаётся определить и для более широкого класса функций $H$. Например, если $X$ является локально квадратично интегрируемым мартингалом, то стохастический интеграл $H \cdot X$ [со свойствами а) – в)] можно определить для любого предсказуемого процесса $H$, обладающего тем свойством, что процесс

$$\left(\int_0^t H_s^2\, d\langle X\rangle_s\right)_{t \geqslant 0}$$локально интегрируем (здесь$\langle X\rangle$ – квадратическая вариация $X$, т. е. такой предсказуемый возрастающий процесс, что $X^2-\langle X\rangle$ есть локальный мартингал).