Соверше́нная ме́ра, понятие, введённое Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогоровым (Гнеденко. 1949) с целью «достижения полной гармонии между абстрактной теорией меры и теорией меры в метрических пространствах». Дальнейшее развитие теории обнаружило другие аспекты ценности этого понятия: с одной стороны, класс совершенных мер весьма широк, с другой – в рамках совершенных мер невозможен ряд неприятных технических осложнений, возможных в общей теории меры.

Конечная мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре $S$ подмножеств множества $X$ называется совершенной, если для любой действительной измеримой функции $f$ на $X$ и любого множества $E\subset\mathbb R$ такого, что $f^{-1}(E)\subset S$ $$\mu(f^{-1}(E)) = \operatorname{inf}\{\mu(f^{-1}(G)): G\supset E,\ G\in\mathfrak S\},$$где $\mathfrak S$ – класс открытых подмножеств $\mathbb R$. Для совершенности $\mu$ достаточно, чтобы для любой действительной измеримой функции $f$ на $X$ существовало борелевское множество $B\subset\mathbb R$ такое, что $\mu(f^{-1}(B))=\mu(X)$, и необходимо, чтобы для любой действительной измеримой функции $f$ на $X$ и любого множества $E\subset\mathbb R$, для которого $f^{-1}(E)\in S$, существовало бы такое борелевское множество $B\subset E$, что$$\mu(f^{-1}(E)) = \mu(f^{-1}(B)).$$Всякая дискретная мера совершенна. Мера, заданная на $\sigma$-алгебре подмножеств сепарабельного метрического пространства, содержащей все открытые множества, совершенна тогда и только тогда, когда мера любого измеримого множества есть верхняя грань мер лежащих в нём компактов. Ограничение совершенной меры $\mu$ на любую $\sigma$-подалгебру $\sigma$-алгебры $S$ совершенно. Мера, индуцированная совершенной мерой $\mu$ на всяком подмножестве $X_1\in S$ с $\mu(X_1)>0$, совершенна. Образ совершенной меры $\mu$ при измеримом отображении $(X, S)$ в другое измеримое пространство совершенен. Мера совершенна тогда и только тогда, когда совершенно её пополнение. Для того чтобы всякая мера на любой $\sigma$-подалгебре $\sigma$-алгебры $S$ подмножеств множества $X$ была совершенна, необходимо и достаточно, чтобы для любой действительной измеримой функции $f$ множество $f(X)$ было абсолютно измеримым (т. е. принадлежало области определения пополнения всякой борелевской меры на $\mathbb R$). Если $X\subset\mathbb R$ и $S$ есть $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств $X$, то всякая мера на $S$ совершенна тогда и только тогда, когда $X$ абсолютно измеримо.

Всякое пространство $(X, S, \mu)$ с совершенной мерой такое, что $S$ имеет счётное число образующих $\{S_i\}$, отделяющих точки $X$ (т. е. для любых $x, y\in X$, $x\ne y$ найдётся $i: x\in S_i$, $y\not\in S_i$ или $x\not\in S_i$, $y\in S_i$), почти изоморфно некоторому пространству $(L, \mathscr L, \lambda)$, образованному мерой Лебега на конечном отрезке и не более, чем счётной последовательностью точек положительной массы (существуют $N\in S$ с $\mu(N)=0$ и взаимно однозначное отображение $\varphi$ $X\setminus N$ на $L$ такие, что $\varphi$ и $\varphi^{-1}$ измеримы и $\lambda=\mu\varphi^{-1}$).

Пусть $I$ – произвольное множество индексов и каждому $i\in I$ соответствует пространство с совершенной мерой $(X_i, S_i,\mu_i)$; $X = \prod_{i\in I} X_i$, и пусть $\mathcal A$ – алгебра, порождённая классом множеств вида $\{x\in X: x_i\in A \in S_i\}$. Если на $\mathcal A$ задана конечно аддитивная мера $\mu'$ такая, что $\mu'(\{x\in X: x_i\in A\})=\mu_i(A)$ для любых $i\in I$ и $A\in S_i$, то: 1) $\mu'$ счётно аддитивна на $\mathcal A$, 2) продолжение $\mu$ меры $\mu'$ на $\sigma$-алгебру $S$, порождённую алгеброй $\mathcal A$, совершенно.

Пусть $(X,S,P)$ – пространство с совершенной вероятностной мерой и $S_1$, $S_2$ – две $\sigma$-подалгебры $\sigma$-алгебры $S$, причём $S_1$ имеет счётное число образующих. Тогда существует регулярная условная вероятность на $S_1$ при условии $S_2$, т. е. существует функция $p(\cdot, \cdot)$ на $X\times S_1$ такая, что: 1) при фиксированном $x$ $p(x,\cdot)$ есть вероятностная мера на $S_1$; 2) при фиксированном $E$ $p(\cdot, E)$ измерима относительно $S_2$; 3) $\int_F p(x,E)P(dx)=P(E\bigcap F)$ для всех $E\in S_1$ и $F\in S_2$. Более того, функцию $p(\cdot, \cdot)$ можно выбрать так, что меры $p(x,\cdot)$ будут совершенными. Пусть $(X, S)$, $(Y, \mathscr T)$ – два измеримых пространства и $q(\cdot,\cdot)$ – переходная вероятность на $X\times\mathscr T$, т. е. $q(\cdot, E)$ измерима относительно $S$ и $q(x,\cdot)$ есть вероятностная мера на $\mathscr T$ для любых $x\in X$, $E\in\mathscr T$. Если $q(x,\cdot)$ дискретны и $P$ – совершенная вероятностная мера на $S$, то мера $\int q(x,\cdot) P(dx)$ совершенна.

Cовершенные меры тесно связаны с компактными мерами. Класс подмножеств $\mathscr K$ называется компактным, если $K_i\in\mathscr K$, $i=1,2,\dots$, $\bigcap_{i=1}^\infty K_i\ne\emptyset$ влечёт $\bigcap_{i=1}^n K_i = \emptyset$ для некоторого $n$. Конечная мера $\mu$ на $(X, S)$ называется компактной, если существует компактный класс $\mathscr K$ такой, что для любых $\varepsilon> 0$ и $E\in S$ можно выбрать $K\in\mathscr K$ и $E_1\in S$ так, чтобы $E_1\subset K\subset E$ и $\mu(E\setminus E_1)<\varepsilon$. Всякая компактная мера совершенна. Для того чтобы мера была совершенной, необходимо и достаточно, чтобы её ограничение на любую $\sigma$-подалгебру со счётным числом образующих было компактным.