Со́бственный морфи́зм, морфизм схем, отделимый, универсально замкнутый и имеющий конечный тип. Морфизм схем $f: X\to Y$ называется замкнутым, если для любого замкнутого $Z\subset X$ множество $f(Z)$ замкнуто в $Y$, и универсально замкнутым, если для любой замены базы $Y'\to Y$ замкнут морфизм $X\times_Y Y'\to Y'$. Свойство быть собственным морфизмом сохраняется при композиции морфизмов, замене базы и для декартова произведения морфизмов. Собственные морфизмы близки к проективным морфизмам: любой проективный морфизм собственный, собственный и квазипроективный морфизм проективен. Любой собственный морфизм доминируется проективным (лемма Чжоу). См. также Полное алгебраическое многообразие, проективная схема.

Собственные морфизмы обладают рядом хороших когомологических свойств.

1. Если морфизм $f:X\to Y$ собственный и $F$ – когерентный пучок $O_X$-модулей, то для любого $q\ge 0$ пучки $O_Y$-модулей $R^q f_*(F)$ когерентны (теорема конечности). Аналогичный факт имеет место и для этальных когомологий. В частности, если $X$ – полная схема над полем $k$, то пространства когомологий $H^q(X,F)$ конечномерны.

2. Для любой точки $y\in Y$ пополнение $O_Y$, $y$-модуля $R^q f_*(F)_y$ совпадает с$$\underset{\underset{n}{\longleftarrow}}{\operatorname{lim}}\, H^q(f^{-1}(y), F/J^{n+1} F),$$где $J$ – идеал подсхемы $f^{-1}(y)$ в $X$ (теорема о сравнении).

3. Если $X$ – собственная схема над полным локальным кольцом $A$, то категории когерентных пучков на $X$ и на её формальном пополнении $\widehat X$ эквивалентны (теорема алгебраизуемости). Существуют аналитические аналоги первого и третьего свойств. Например (см. Revêtements étales et groupe fondamental, 1971): для полной $\mathbb C$-схемы $X$ любой аналитический когерентный пучок на $X(\mathbb C)$ алгебраизуем и$$H^q(X,F) = H^q(X(\mathbb C), F^{\text{ан}}).$$4. Пусть $f: X\to Y$ – собственный морфизм, $F$ – пучок конечных абелевых групп в этальной топологии $X$, $\xi$ – геометрическая точка схемы $Y$; тогда слой пучка $R^q f_*(F)$ в точке $\xi$ изоморфен $H^q(f^{-1}(\xi), F\big|_{f^{-1} \xi})$ (теорема о замене базы, см. Thèorie des topos et cohomologie étale des schémas, 1972–1973).