Сходи́мость распределе́ний, в основном слабая сходимость и сходимость по вариации, определяемые следующим образом. Последовательность распределений (вероятностных мер) $\left\{P_n\right\}$ на борелевских множествах метрического пространства $S$ называется слабо сходящейся к распределению $P$, если
$$\tag{*} \lim _n \int_S f \,d P_n=\int_S f \,d P$$для любой действительной ограниченной непрерывной функции $f$ на $S$. Слабая сходимость является основным типом сходимости, рассматриваемым в теории вероятностей. Обозначают её обычно знаком $\Rightarrow$. Следующие условия равносильны слабой сходимости:

1) соотношение $(*)$ выполняется для любой ограниченной равномерно непрерывной действительной функции $f$;

2) соотношение $(*)$ выполняется для любой ограниченной непрерывной $P$-почти всюду действительной функции $f$;

3) $\underset{n}{\varlimsup}\, P_n(F) \leqslant P(F)$ для любого замкнутого множества $F \subset S$;

4) $\underset{n}{\varliminf}\, P_n(G) \geqslant P(G)$ для любого открытого множества $G \subset S$;

5) $\underset{n}{\lim}\, P_n(A)=P(A)$ для любого борелевского множества $A \subset S$ такого, что $P(\partial A)=0$, где $\partial A$ – граница $A$;

6) $\underset{n}{\lim}\, p\left(P_n, P\right)=0$, где $p$ есть метрика Леви – Прохорова.

Пусть $U$ – замкнутый относительно пересечений класс подмножеств $S$ такой, что всякое открытое множество из $S$ есть конечное или счётное объединение множеств из $U$. Тогда если $\underset{n}{\lim}\, P_n(A)=P(A)$ при всех $A \in U$, то $P_n \Rightarrow P$. Если $S=\mathbb{R}^k$ и $F_n$, $F$ – функции распределения, отвечающие $P_n$ и $P$ соответственно, то $P_n \Rightarrow P$ тогда и только тогда, когда $F_n(x) \rightarrow F(x)$ в каждой точке $x$ непрерывности функции $F$.

Пусть пространство $S$ сепарабельно и $\mathscr{F}$ – класс ограниченных борелевских действительных функций на $S$. Для того чтобы $\displaystyle\int_S f \,d P_n \rightarrow \int_S f \,d P$ равномерно по $f \in \mathscr{F}$ для всякой последовательности $\left\{P_n\right\}$ такой, что $P_n \Rightarrow P$, необходимо и достаточно, чтобы:

a) $\underset{f \in F}{\sup}\, \omega_f(S)<\infty$,

б) $\underset{\varepsilon \downarrow 0}{\lim}\, \underset{f \in \mathscr{F}}{\sup}\, P\left(\left\{x: \omega_f\left(S_{x, \varepsilon}\right)>\delta\right\}\right)=0,\, \forall \delta>0$,

где

$$\omega_f(A)=\sup \{|f(x)-f(y)|, \ x, y \in A\}$$и где $S_{x, \varepsilon}$ – открытый шар радиуса $\varepsilon$ с центром в $x$. Если класс $\mathscr{F}$ образован индикаторами множеств из некоторого класса $E$, то условия а) и б) сводятся к условию

$$\lim _{\varepsilon \downarrow 0} \sup _{A \in E} P\left(A^{\varepsilon} \backslash A^{-\varepsilon}\right)=0,$$где

$$A^{\varepsilon}=\bigcup_{x \in A} S_{x, \varepsilon}, \quad A^{-\varepsilon}=S \backslash(S \backslash A)^{\varepsilon}$$(когда всякий открытый шар в $S$ связен, $A^{\varepsilon} \backslash A^{-\varepsilon}=(\partial A)^E$). Если $S=\mathbb{R}^k$ и распределение $P$ абсолютно непрерывно по мере Лебега, то $P_n \Rightarrow P$ тогда и только тогда, когда $P_n(A) \rightarrow P(A)$ равномерно по всем борелевским выпуклым множествам $A$.

Пусть $P_n$, $P$ – распределения на метрическом пространстве $S$, $P_n \Rightarrow P$ и $h$ – непрерывное $P$-почти всюду измеримое отображение $S$ в метрическое пространство $S^{\prime}$; тогда $P_n h^{-1} \Rightarrow P h^{-1}$, где для любого распределения $Q$ на $S$ распределение $Q h^{-1}$ есть его $h$-образ на $S^{\prime}$:

$$Q h^{-1}(A)=Q\left(h^{-1}(A)\right)$$для любого борелевского $A \in S^{\prime}$.

Семейство распределений $\mathscr{P}$ на $S$ называется слабо относительно компактным, если всякая последовательность его элементов содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Условие слабой относительной компактности даёт теорема Прохорова. Семейство $\mathscr{P}$ называется плотным, если $\forall \varepsilon>0$ существует компакт $K \subset S$ такой, что $P(k)>1-\varepsilon$ $\ \forall P \in \mathscr{P}$. Теорема Прохорова: если $\mathscr{P}$ плотно, то оно относительно компактно, а если $S$ сепарабельно и полно, то слабая относительная компактность $\mathscr{P}$ влечёт его плотность. В случае когда $S=\mathbb{R}^k$, семейство распределений $\mathscr{P}$ слабо относительно компактно тогда и только тогда, когда соответствующее $\mathscr{P}$ семейство характеристических функций равностепенно непрерывно в нуле.

Пусть теперь $P_n$, $P$ – распределения на измеримом пространстве $(X, \mathscr A)$, где $\mathscr A$ есть $\sigma$-алгебра. Под сходимостью по вариации $P_n$ к $P$ понимают равномерную сходимость по всем множествам из $\mathscr A$ или, что равносильно, стремление вариации

$$\left|P_n-P\right|=\left(P_n-P\right)^{+}+\left(P_n-P\right)^{-}$$к нулю; здесь $\left(P_n-P\right)^{+}$ и $\left(P_n-P\right)^{-}$ – компоненты разложения Жордана – Хана обобщённой меры $P_n-P$.