Симметри́ческая произво́дная, обобщение понятия производной на случай функций множества $\Phi$ в $n$-мерном евклидовом пространстве. Симметрическая производная в точке $x$ есть предел$$\underset{r\to +0}{\operatorname{lim}} \frac{\Phi(S(x;r))}{|S(x;r)|}\equiv D_{\rm sym} \Phi(x),$$где $S(x; r)$ – замкнутый шар с центром в точке $x$ и радиусом $r$. Симметрической производной порядка $n$ в точке $x$ функции действительного переменного $f(x)$ называется предел$$\underset{h\to 0}{\operatorname{lim}}\frac{\Delta_s^n f(x,h)}{h^n} = \underset{h\to 0}{\operatorname{lim}} \frac{\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k f\Big(x+\frac{n-2k}{2} h\Big)}{h^n} = D^n f(x).$$Функция действительного переменного $f(x)$ имеет симметрическую производную в точке $x$ порядка $2r$:$$D^{2r} f(x)=\beta_{2r},$$если$$\frac{1}{2}\big(f(x+h)-f(x-h)\big) - \sum_{k=0}^r \beta_{2r} \frac{h^{2k}}{(2k)!} = o(h^{2r});$$порядка $2r+1$:$$D^{2r+1}f(x) = \beta_{2r+1},$$если$$\frac{1}{2}\big(f(x+h)-f(x-h)\big) - \sum_{k=0}^r \beta_{2k+1} \frac{h^{2k+1}}{(2k+1)!} = o(h^{2r+1}).$$Если в точке $x$ существует $n$-я производная $f^{(n)}(x)$, то в этой точке существует (в обоих смыслах) симметрическая производная и она равна $f^{(n)}(x)$. Если $f(x)$ имеет в точке $x$ производную $D^{2r}f(x)$ или $D^{2r+1}f(x)$, то она имеет производную $D^n f(x)$. Обратное утверждение справедливо при условии существования всех производных $D^n f(x)$ меньшего порядка той же чётности.