Ряд Гра́ма – Шарлье́, ряд, определяемый выражением

$$f_A(x)=f(x)+\sum_{k=3}^n a_k f^{(k)}(x) \tag{1}$$или

$$f_B(x)=\psi(x) \sum_{m=0}^n b_m g_m(x), \tag{2}$$где $x$ – нормированное значение случайной величины.

Ряд (1) называется рядом Грама – Шарлье типа $A$; здесь

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2},$$$f^{(k)}(x)$ есть $k$-я производная от $f(x)$, которую можно представить в виде

$$f^{(k)}(x)=(-1)^k H_k(x) f(x),$$где $H_k(x)$ – многочлены Чебышёва – Эрмита. Производные $f^{(k)}(x)$ и многочлены $H_k(x)$ обладают свойствами ортогональности, благодаря чему коэффициенты $a_k$ можно определить при помощи основных моментов $r_k$ данного ряда распределения. Ограничиваясь первыми членами ряда (1), получают

$$\begin{gathered} f_A(x)=f(x)+\frac{r_3}{3 !} f^{(3)}(x)+ \\ +\frac{r_4-3}{4!} f^{(4)}(x)-\frac{r_5-10 r_3}{5 !} f^{(3)}(x)+\frac{r_{6}-15 r_4+30}{6 !} f^{(6)}(x). \end{gathered}$$Ряд (2) называется рядом Грама – Шарлье типа $B$; здесь

$$\psi(x)=\frac{\lambda^x}{x !} e^{-\lambda}, \quad x=0,1,2, \ldots,$$а $g_m(x)$ – многочлены, аналогичные многочленам $H_k(x)$. Ограничиваясь первыми членами ряда (2), получают

$$\begin{gathered} f_B(x)=\frac{\lambda^x}{x !} e^{-\lambda}\left\{1+\frac{\mu_2-\lambda}{\lambda^2} \left[\frac{x^{[2]}}{2}-\lambda x^{[1]}+\frac{\lambda^2}{2}\right]+\right. \\ \left.+\frac{\mu_3-3 \mu_2+2 \lambda}{\lambda^3}\left[\frac{x^{[3]}}{6}-\frac{\lambda}{2} x^{[2]}+ \frac{\lambda^2}{2} x^{[1]}-\frac{\lambda^3}{6}\right]\right\}, \end{gathered}$$где $\mu_i$ – центральные моменты распределения, а $x^{[i]}= =x(x-1) \ldots(x-i+1)$.

Ряды Грама – Шарлье были получены Й. Грамом (Gram. 1883) и К. Шарлье (Charlier. 1914) при исследовании функции вида

$$B_0(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} e^{-i t x} \varphi(t)\, d t,$$принятой для интерполирования между значениями $B(m)=\frac{n !}{m !(n-m) !} p^m q^{n-m}$ – общего члена биномиального распределения, где

$$\varphi(t)=\left(p e^{i t}+q\right)^n=\sum_{m=0}^n B(m) e^{i t m}$$– характеристическая функция биномиального распределения. Разложение $\ln \varphi(t)$ по степеням $t$ приводит к рядам Грама – Шарлье типа $A$ для $B_0(x)$, а разложение $\ln \varphi(t)$ по степеням $p$ приводит к рядам Грама – Шарлье типа $B$.