Полупрямо́е произведе́ние группы $A$ на группу $B$, группа $G=A B$, являющаяся произведением своих подгрупп $A$ и $B$, причём $B$ нормальна в $G$ и $A \cap B=\{1\}$. Если также и $A$ нормальна в $G$, то полупрямое произведение превращается в прямое произведение. Полупрямое произведение по группам $A$ и $B$ строится неоднозначно. Для построения полупрямого произведения нужно ещё знать, какие автоморфизмы на группе $B$ вызывают сопряжения элементами из $A$. Точнее, если $G=A B$ – полупрямое произведение, то каждому элементу $a \in A$ соответствует автоморфизм $\alpha_a \in \operatorname{Aut} B$, являющийся сопряжением элементом $a$:

$$\alpha_a(b)=a b a^{-1},\quad b \in B.$$При этом соответствие $a \mapsto \alpha_a$ есть гомоморфизм $A \rightarrow \operatorname{Aut} B$. Обратно, если $A$ и $B$ – произвольные группы, то для любого гомоморфизма $\varphi: A \rightarrow \operatorname{Aut} B$

существует единственное полупрямое произведение группы $A$ на группу $B$ такое, что $\alpha_a=\varphi(a)$ для любого $a \in A$. Полупрямое произведение является частным случаем расширения группы $B$ с помощью группы $A$, такое расширение называется расщепляющимся.