Проекти́вное мероопределе́ние, введение в подмножествах проективного пространства методами проективной геометрии такой метрики, при которой эти подмножества оказываются изоморфными евклидову, гиперболическому или эллиптическому пространствам. Это достигается выделением из класса всех проективных преобразований таких преобразований, которые порождают в этих подмножествах группу преобразований, изоморфную соответствующей группе движений. Наличие движений позволяет «откладывать» отрезки от данной точки в данном направлении и тем самым ввести понятие длины отрезка.

Чтобы получить евклидово мероопределение в $n$-мерном проективном пространстве $P$, выделяют в нём одну $(n-1)$-мерную гиперплоскость $\pi$, называемую несобственной гиперплоскостью, и устанавливают в этой гиперплоскости эллиптическое полярное соответствие $\pi$ точек и $(n-2)$-мерных гиперплоскостей [т. е. полярное соответствие, при котором никакая точка не принадлежит соответствующей ей $(n-2)$-мерной плоскости].

Пусть $E_n$ – подмножество проективного пространства $P$, получающееся удалением из него несобственной гиперплоскости; $X, Y, X^{\prime}, Y^{\prime}$ – точки, принадлежащие $E_n$. Два отрезка $X Y$ и $X^{\prime} Y^{\prime}$ называются конгруэнтными, если существует проективное преобразование $\varphi$, переводящее точки $X$ и $Y$ соответственно в точки $X^{\prime}$ и $Y^{\prime}$, при котором сохраняется поляритет $\Pi$.

Определённое таким образом понятие конгруэнтности отрезков позволяет в $E_n$ ввести метрику евклидова пространства. Для этого в проективном пространстве $P$ вводится система проективных координат с базисным симплексом $O A_1 A_2\ldots A_n$, причём точка $O$ не принадлежит несобственной гиперплоскости $\pi$, а точки $A_1, A_2, \ldots, A_n$ принадлежат этой плоскости. Пусть точка $O$ в этой системе имеет координаты $0,0, \ldots, 0,1$, а точки $A_i$, $i=1,2, \ldots, n$, имеют координаты

$$x_1=0, x_2=0, \ldots, x_{i-1}=0, x_i=1, x_{i+1}=0, \ldots, x_{n+1}=0.$$Тогда эллиптическое полярное соответствие $\Pi$, заданное в гиперплоскости $\pi$, может быть записано в виде

$$u_i=\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j, \quad i=1,2, \ldots, n.$$Матрица $\left\|a_{i j}\right\|$ этого соответствия будет симметрической, а соответствующая ей квадратичная форма

$$Q\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=\sum a_{i j} x_i x_j$$– положительно определённой. Пусть

$$X=\left(a_1: a_2: \ldots: a_n: a_{n+1}\right)\; \text { и }\; Y=\left(b_1: b_2: \ldots: b_n: b_{n+1}\right)$$– две точки, принадлежащие $E_n$ (т. е. $a_{n+1} \neq 0$, $b_{n+1} \neq 0$). Можно положить:

$$\begin{aligned} & \frac{a_1}{a_{n+1}}=x_1, \frac{a_2}{a_{n+1}}=x_2, \ldots, \frac{a_n}{a_{n+1}}=x_n ; \\ & \frac{b_1}{b_{n+1}}=y_1, \frac{b_2}{b_{n+1}}=y_2, \ldots, \frac{b_n}{b_{n+1}}=y_n . \end{aligned}$$Тогда расстояние $\rho$ между точками $X$ и $Y$ определяется соотношением

$$\rho(X, Y)=\sqrt{Q\left(x_1-y_1, x_2-y_2, \ldots, x_n-y_n\right)}.$$Для установления проективного мероопределения в $n$-мерном гиперболическом пространстве в $n$-мерном проективном пространстве $P$ рассматривается множество $U$ внутренних точек действительной овальной гиперповерхности $S$ 2-го порядка. Пусть $X, Y, X^{\prime}, Y^{\prime}$ принадлежат множеству $U$, тогда отрезки $X Y$ и $X^{\prime} Y^{\prime}$ считаются конгруэнтными, если существует проективное преобразование пространства $P$, при котором гиперповерхность $S$ отображается на себя, переводящее точки $X$ и $Y$ соответственно в точки $X^{\prime}$ и $Y^{\prime}$. Введённое таким образом понятие конгруэнтности отрезков приводит к установлению во множестве $U$ метрики гиперболического пространства. Длина отрезка в этой метрике определяется соотношением

$$\rho(X, Y)=c|\ln (X Y P Q)|,$$где $P$ и $Q$ – точки пересечения прямой $X Y$ с гиперповерхностью $S$, а $c$ – положительное число, связанное с кривизной пространства Лобачевского.

Для введения в проективном пространстве $P$ эллиптической метрики в этом пространстве рассматривается эллиптическое полярное соответствие $\Pi$. Два отрезка $X Y$ и $X^{\prime} Y^{\prime}$ называются конгруэнтными, если существует проективное преобразование $\varphi$, переводящее точки $X$ и $Y$ соответственно в точки $X^{\prime}$ и $Y^{\prime}$, при котором сохраняется поляритет $\Pi$ [т. е. для любой точки $M$ и её поляры $m$ полярой точки $\varphi(M)$ будет $\varphi(m)$]. Если эллиптическое полярное соответствие $\Pi$ задано соотношениями

$$u_i=\sum_{j=1}^{n+1} a_{i j} x_j, \quad i=1,2, \ldots, n+1,$$то матрица $\left(a_{i j}\right)$ будет симметрической, а соответствующая ей квадратичная форма – положительно определённой. Тогда если

$$X=\left(x_1: x_2: \ldots: x_n: x_{n+1}\right), \quad Y=\left(y_1: y_2: \ldots: y_n: y_{n+1}\right),$$тo

$$\rho(X, Y)=\arccos \frac{|B(X, Y)|}{\sqrt{B(X, X)} \sqrt{B(Y, Y)}},$$где $B$ – билинейная форма с матрицей $\left\|a_{i j}\right\|$.

Во всех рассмотренных случаях (если дополнить действительное проективное пространство до комплексного проективного пространства) при проективных преобразованиях, определяющих конгруэнтность отрезков, т. е. движениях, остаются инвариантными некоторые гиперповерхности 2-го порядка, называемые абсолютами. В случае евклидова мероопределения абсолютом будет мнимая $(n-2)$-мерная овальная поверхность 2-го порядка, в случае гиперболического мероопределения – овальная $(n-1)$-мерная действительная гиперповерхность 2-го порядка, в случае эллиптического мероопределения – мнимая $(n-1)$-мерная овальная гиперповерхность 2-го порядка.