Привилегиро́ванный компа́кт, понятие, часто используемое в теории комплексных пространств, в особенности в теории модулей комплексных структур. Пусть $K$ – компакт в $\mathbb{C}^n$, $\mathscr{O}_K$ – ограничение на $K$ пучка ростков голоморфных функций в $\mathbb{C}^n$. Компакт $K$ называется привилегированным относительно когерентного аналитического пучка $\mathscr{F}$, заданного на $K$, если существует точная последовательность отображений $\mathscr{O}_K$-пучков

$$0 \longrightarrow \mathscr{L}_n \longrightarrow \mathscr{L}_{n-1} \longrightarrow \ldots \longrightarrow \mathscr{L}_1 \longrightarrow \mathscr{L}_0 \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} \mathscr{F} \longrightarrow 0, \tag{1}$$в которой $\mathscr{L}_i=\mathscr{O}_K^{r_i}$ с некоторыми $r_i \geqslant 0$, $i=0,1, \ldots, n$, такая, что порождённая ею последовательность непрерывных операторов

$$\begin{gathered} 0 \longrightarrow B\left(K, \mathscr{L}_n\right) \stackrel{d}{\longrightarrow} B\left(K, \mathscr{L}_{n-1}\right) \longrightarrow \ldots \\ \quad \ldots \rightarrow B\left(K, \mathscr{L}_1\right) \stackrel{d}{\longrightarrow} B\left(K, \mathscr{L}_0\right) \end{gathered} \tag{2}$$точна и расщепляема. Здесь

$$B\left(K, \mathscr{L}_i\right)=B(K, \mathscr{O})^{r_i},$$а $B(K, \mathscr{O})$ есть банахово пространство непрерывных на $K$ функций, голоморфных внутри $K$, наделённое равномерной нормой. Расщепляемость последовательности (2) означает, что ядро и образ дифференциала $d$ в каждом члене имеет прямое замкнутое дополнение. Это условие расщепляемости эквивалентно следующему: существует линейный непрерывный оператор $h$ в (2), переводящий $B\left(K, \mathscr{L}_i\right)$ в $B\left(K, \mathscr{L}_{i+1}\right)$, такой, что $d h d=d$ (оператор гомотопии). Свойство точности и расщепляемости последовательности (2) не зависит от выбора последовательности (1).

Пусть точка $Z$ принадлежит внутренности компакта $K$. Тогда существует морфизм $\pi$ комплекса (2) в слой комплекса (1) над точкой $z$, переводящий элемент $B\left(K, \mathscr{L}_i\right)$, т. е. функцию на $K$ со значениями в $\mathbb{C}^{r_i}$ в её росток в точке $z$. Отсюда вытекает, что последовательность

$$B\left(K, \mathscr{L}_1\right) \stackrel{d}{\longrightarrow} B\left(K, \mathscr{L}_0\right) \stackrel{\pi \varphi}{\longrightarrow} \mathscr{F}_z \tag{3}$$полуточна. Компакт $K$ называется $\mathscr{F}$-привилегированной окрестностью точки $z$, если он $\mathscr{F}$-привилегирован и последовательность (3) точна. Это свойство также не зависит от выбора последовательности (1).

Для всякого когерентного аналитического пучка $\mathscr{F}$ всякая точка его области определения обладает фундаментальной системой $\mathscr{F}$-привилегированных окрестностей. В качестве таких окрестностей выбираются поликруги с определёнными соотношениями типа неравенств для радиусов. Известно достаточное условие $\mathscr{F}$-привилегированности полицилиндра, связывающее пучок $\mathscr{F}$ с устройством границы (Douady. 1966).

Рассматриваются также привилегированные компакты по отношению к пучку, заданному на произвольном комплексном пространстве $X$, при этом имеют в виду компакты, привилегированные относительно пучков $f_*(\mathscr{F})$, где $f$ – карта на $X$.