Компле́ксная структу́ра, 1) комплексная структура на действительном векторном пространстве $V$ – структура комплексного векторного пространства на $V$, согласованная с исходной структурой. Комплексная структура на $V$ полностью определяется заданием оператора умножения на число $i$, роль которого может играть произвольное линейное преобразование $I: V \rightarrow V$, удовлетворяющее условию $I^2=-E$. Поэтому преобразование такого типа часто называется комплексной структурой на $V$. Если $V$ снабжено комплексной структурой и $v_1, \ldots, v_n$ – базис этого пространства над $\mathbb{C}$, то $v_1, \ldots, v_n$, $I v_1, \ldots, I v_n$ образуют его базис над $\mathbb{R}$, так что $\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} V=2 \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} V$. Если $I$ – комплексная структура на $V$, то комплексификация $V^{\mathbb{C}}$ пространства $V$ распадается в прямую сумму $V^{\mathbb{C}}=V_{+}+V_{-}$, где $V_{ \pm}$ – собственные подпространства преобразования $I$, продолженного на $V^{\mathbb{C}}$, отвечающие собственным значениям $\pm i$, причём $V_{-}=\bar{V}_{+}$. Обратно, всякое комплексное подпространство $S \subset V^{\mathbb{C}}$ такое, что $V^{\mathbb{C}}=S+\bar{S}$, определяет на $V$ комплексную структуру, для которой $V_{+}=S$.

Любые две комплексные структуры на $2 n$-мерном действительном пространстве $V$ переводятся друг в друга некоторым автоморфизмом пространства $V$. Множество всех комплексных структур на $V$ является, таким образом, однородным пространством группы $G L(2 n, \mathbb{R})$ и отождествляется с факторпространством $G L(2 n, \mathbb{R}) / H$, где $H \cong G L(n, \mathbb{C})$ – подгруппа, состоящая из невырожденных матриц вида $\begin{Vmatrix}A& B \\ -B& A\end{Vmatrix}$.

2) Комплексная структура – структура комплексного аналитического многообразия. Если $M$ – дифференцируемое многообразие, то комплексная структура на $M$ – это комплексный аналитический атлас на $M$, согласованный с заданным на $M$ действительным дифференцируемым атласом. При этом $\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} M=2 \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} M$. Комплексная структура на $M$ индуцирует комплексную структуру на каждом касательном пространстве $T_x(M)$ и тем самым индуцирует на $M$ почти комплексную структуру, которая полностью определяет исходную комплексную структуру на $M$.