Полуинвариа́нт, общий собственный вектор семейства эндоморфизмов векторного пространства или модуля. Если $G$ – множество линейных преобразований векторного пространства $V$ над полем $K$, то полуинвариант множества $G$ – это такой вектор $v\in V$, что $v\neq0$ и

$$g v=\chi(g) v,\quad g \in G,$$где $\chi: G \rightarrow K$ – функция, называемая весом полуинварианта $v$. Полуинвариант веса 1 называется также инвариантом. Чаще всего рассматривается случай, когда $G \subset \mathrm{GL}(V)$ – линейная группа, тогда $\chi: G \rightarrow K^*$ есть характер группы $G$ и продолжается до полиномиальной функции на $\operatorname{End} V$. Если $\varphi: G \rightarrow \mathrm{GL}(V)$ – линейное представление группы $G$ в пространстве $V$, то полуинвариант группы $\varphi(G)$ называется также полуинвариантом представления $\varphi$. Пусть $G$ – линейная алгебраическая группа, $H$ – её замкнутая подгруппа, $\mathfrak{h}\subset \mathfrak{g}$ – алгебры Ли этих групп. Тогда существуют такое точное рациональное линейное представление $\varphi: G \rightarrow \mathrm{GL}(E)$ и такой полуинвариант $v \in E$ группы $\varphi(H)$, что $H$ и $\mathfrak{h}$ являются максимальными подмножествами в $G$ и $\mathfrak{g}$, для образов которых в $\operatorname{End} E$ вектор $v$ есть полуинвариант. Это означает, что соответствие $a H \mapsto K \varphi(a) v$, $a \in G$, есть изоморфизм алгебраического однородного пространства на орбиту прямой $K v$ в проективном пространстве $P(E)$.

Часто полуинвариантом множества $G \subset \operatorname{End} V$ называют полиномиальную функцию на $\operatorname{End}V$, являющуюся полуинвариантом множества линейных преобразований $\eta(G)$ пространства $K [\operatorname{End}V]$, где

$$\begin{gathered} (\eta(g) f)(X)=f(X g),\\ g \in G, \quad f \in K [\operatorname{End}V],\quad X \in \operatorname{End}V. \end{gathered}$$Если $G \subset \mathrm{GL}(V)$ – линейная алгебраическая группа, $\mathfrak{g}$ – её алгебра Ли, то $G$ обладает такими полуинвариантами

$$f_1, \ldots, f_n \in K[\operatorname{End}V]$$одинакового веса, что $G$ и $\mathfrak{g}$ суть максимальные подмножества в $\mathrm{GL}(V)$ и $\operatorname{End}V$, для которых $f_1, \ldots, f_n$ суть полуинварианты (теорема Шевалле).