Определя́ющее уравне́ние, уравнение, ассоциированное с регулярной особой точкой $z=a$ обыкновенного линейного дифференциального уравнения

$$p_0(z)w^{(n)}+p_1(z)w^{(n-1)}+\ldots+p_n(z)w=0. \tag{1}$$Пусть

$$p_j(z)=(z-a)^{n-j}q_j(z),$$функции $q_j(z)$ голоморфны в точке $z=a$ и $q_0(a)\ne 0$. Определяющее уравнение имеет вид

$$\lambda(\lambda-1)\ldots(\lambda-n+1)q_0(a)+\ldots+\lambda q_{n-1}(a)+q_n(a)=0. \tag{2}$$Если корни $\lambda_j$, $1\leqslant j\leqslant n$, уравнения (2) таковы, что все разности $\lambda_j-\lambda_k$ при $j\ne k$ не являются целыми числами, то уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений вида

$$w_j(z)=(z-a)^{\lambda_j}\varphi_j(z), \; 1\leqslant j\leqslant n, \tag{3}$$где функции $\varphi_j(z)$ голоморфны в точке $z=a$. В противном случае решения уравнения (1) могут быть многочленами от $\ln(z-a)$ с коэффициентами, голоморфными в точке $z=a$.

Определяющее уравнение для системы из $n$ уравнений

$$(z-a)w^\prime = A(z)w, \tag{4}$$отвечающее регулярной особой точке $z=a$, имеет вид

$$\det \|\lambda I-A(a)\|=0,$$где $A(z)$ – матрица-функция порядка $n\times n$, голоморфная в точке $z=a$, и $A(a)\ne 0$. Если все разности $\lambda_j-\lambda_k$ при $j\ne k$ не являются целыми числами, где $\lambda_j$ – собственные значения матрицы $A$, то система (4) имеет фундаментальную систему решений вида (3), где $\varphi_j(z)$ – вектор-функции, голоморфные в точке $z=a$, в противоположном случае вектор-функции $\varphi_j(z)$ могут быть многочленами от $\ln(z-a)$ с коэффициентами, которые являются голоморфными в точке $z=a$ вектор–функциями.

В ином смысле термин «определяющее уравнение» употребляется при исследовании групп преобразований, допускаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями с частными производными (см. Овсянников. 1978).