Ме́трика Хаусдо́рфа (хаусдорфова метрика), метрика, определяемая на семействе всех ограниченных непустых замкнутых подмножеств метрического пространства. Более точно, пусть $(X,\rho)$ – метрическое пространство, $\mathcal{C}(X)$ означает семейство всех его непустых ограниченных замкнутых подмножеств, а $\rho(x,A)$ означает расстояние от точки $x\in X$ до множества $A\in\mathcal{C}(X)$, т. е. $\rho(x,A)=\inf\{\rho(x,a):a\in A\}$. Формула $\displaystyle\rho_{\mathrm {H}}(A,B)=\max\left\{\sup_{a\in A}\rho(a,B), \ \sup_{b\in B}\rho(b,A)\right\}$определяет метрику на множестве $\mathcal{C}(X)$; эта метрика и называется метрикой Хаусдорфа.

Величина $\rho_{\mathrm {H}}(A,B)$ может быть определена эквивалентным образом как точная нижняя грань множества положительных чисел $\varepsilon$, таких, что каждое из двух множеств $A,B$ содержится в $\varepsilon$-окрестности другого, т. е. $\rho_{\mathrm {H}}(A,B)=\inf\{\varepsilon>0: A\subset N_\varepsilon(B)\text { и } B\subset N_\varepsilon(A) \},$где $N_\varepsilon(C)$ означает $\varepsilon$-окрестность множества $C\subset X$: $N_\varepsilon(C)=\{x\in X: \rho(x, C)<\varepsilon \}.$Кроме того, имеет место равенство $\displaystyle\rho_{\mathrm {H}}(A,B)=\sup_{x\in X}\left|\rho(x,A)-\rho(x,B)\right|.$Величина $\rho_{\mathrm {H}}(A,B)$ часто называется расстоянием Хаусдорфа между множествами $A$ и $B$.

Метрическое пространство $(X,\rho)$ изометрично замкнутому подпространству метрического пространства $(\mathcal{C}(X), \rho_{\mathrm{H}})$, состоящему из одноточечных множеств; соответствующее изометрическое отображение ставит в соответствие каждой точке $x\in X$ одноточечное множество $\{x\}\in\mathcal{C}(X)$.

Если $\rho,\sigma$ – две эквивалентные (т. е. порождающие одну и ту же топологию) метрики на множестве $X$, то в общем случае метрики $\rho_{\mathrm{H}}$ и $\sigma_{\mathrm{H}}$ могут порождать различные топологии на $\mathcal{C}(X)$; однако если $\rho, \sigma$ равномерно эквивалентны, то $\rho_{\mathrm{H}}$ и $\sigma_{\mathrm{H}}$ также равномерно эквивалентны (и, в частности, порождают одну и ту же топологию).

Имеет место следующая фундаментальная связь между метрическими пространствами $(X, \rho)$ и $(\mathcal{C}(X), \rho_{\mathrm{H}})$:

• $(X, \rho)$ полно тогда и только тогда, когда $(\mathcal{C}(X), \rho_{\mathrm{H}})$ полно;

• $(X, \rho)$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда $(\mathcal{C}(X), \rho_{\mathrm{H}})$ вполне ограничено;

• $(X, \rho)$ компактно тогда и только тогда, когда $(\mathcal{C}(X), \rho_{\mathrm{H}})$ компактно.

Пусть $\mathcal{K}(X)$ – семейство всех непустых компактных подмножеств пространства $(X,\rho)$, тогда $\mathcal{K}(X)\subset\mathcal{C}(X)$. Топология, индуцированная на $\mathcal{K}(X)$ метрикой Хаусдорфа $\rho_{\mathrm{H}}$, совпадает с топологией Вьеториса на $\mathcal{K}(X)$. В частности, если пространство $(X,\rho)$ компактно, то $\mathcal{K}(X)=\mathcal{C}(X)$ и топология на $\mathcal{C}(X)$ совпадает с топологией Вьеториса. В общем случае топология на $\mathcal{C}(X)$, порождённая метрикой $\rho_{\mathrm{H}}$, несравнима с топологией Вьеториса (даже если пространство $(X,\rho)$ вполне ограничено и сепарабельно).

Иногда в приложениях функционального анализа рассматривают обобщённую метрику Хаусдорфа, определяя её той же формулой на семействе всех непустых замкнутых (не обязательно ограниченных) подмножеств метрического пространства $(X,\rho)$, допуская при этом, что величина $\rho_{\mathrm{H}}(A,B)$ может принимать значение $+\infty$.

Хаусдорфова метрика названа в честь определившего её Ф. Хаусдорфа (Hausdorff. 1914). Близкая конструкция появилась ранее у Д. Помпейю (Pompeiu. 1905), который исследовал сходимость, индуцированную метрикой $$\displaystyle\rho_{\mathrm{P}}(A,B)=\sup_{a\in A}\rho(a,B) + \sup_{b\in B}\rho(b,A)$$на семействе всех ограниченных непустых замкнутых подмножеств плоскости; эта метрика равномерно эквивалентна метрике Хаусдорфа.