Кругово́й ме́тод в тео́рии чи́сел, один из наиболее общих методов аддитивной теории чисел. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots,X_{k}$ – произвольные множества натуральных чисел, $N$ – натуральное число и $J_{k}(N)$ – число решений уравнения
$n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{k}=N,$где $n_{1}\in X_{1}$, $n_{2}\in X_{2}, \ldots, n_{k}\in X_{k}$. Изучением величин $J_{k}(N)$ занимается аддитивная теория чисел; например, если доказать, что $J_{k}(N)$ больше нуля при всех $N$, то это будет означать, что любое натуральное число является суммой $k$ слагаемых – чисел из множеств $X_{1},X_{2},\ldots,X_{k}$ соответственно. Пусть, далее, $s$ – комплексное число, $|s|<1$, и

$\displaystyle g_{1}(s)=\sum_{n_{1} \in X_{1}} s^{n_{1}},\quad g_{2}(s)=\sum_{n_{2} \in X_{2}} s^{n_{2}}, \ldots\quad g_{k}(s)=\sum_{n_k \in X_{k}} s^{n_{k}}.$Тогда функция

$\displaystyle g(s)=g_{1}(s) g_{2}(s) \ldots g_{k}(s)=\sum_{N=1}^{\infty} J_{k}(N) s^{N}$является производящей функцией величин $J_{k}(N)$. По формуле Коши

$\displaystyle J_{k}(N)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|s|=R<1} g(s) s^{-(N+1)}\, ds.$Последний интеграл изучается при $R\to1-0$. Окружность интегрирования $|s| = R$ разбивается на «большие» и «малые» дуги, центрами которых являются рациональные числа. Для целого ряда аддитивных задач удается достаточно полно исследовать интегралы по «большим» дугам, которые дают «главную» часть величины $J_k(N)$, и оценить интегралы по «малым» дугам, которые дают «остаточный» член асимптотической формулы для $J_k(N)$.

Введение И. М. Виноградовым в круговой метод тригонометрических сумм не только сильно упростило его применение, но и дало возможность единым способом решать широкий круг самых разных аддитивных задач. Основой кругового метода в форме тригонометрических сумм является следующая формула:

$\displaystyle \int_{0}^{1} e^{2 \pi i \alpha m}\, d \alpha= \begin{cases} 1, & m=0, \\ 0, & m \neq 0,\; m\text{ – целое.}\end{cases}$Из этой формулы следует, что

$\displaystyle J_{k}(N)=\int_{0}^{1} s_{1}(\alpha) s_{2}(\alpha) \ldots s_{k}(\alpha) e^{-2 \pi i \alpha N}\, d \alpha,$где

$\displaystyle s_{m}(\alpha)=\sum_{n \in X_{m}, n \leqslant N} e^{2 \pi i \alpha n}, \quad m=1,2, \ldots, k.$Конечные суммы $s_{m}(\alpha)$ называются тригонометрическими. Для исследования $J_{k}(N)$ отрезок интегрирования $[0,1]$ разбивается на «большие» и «малые» дуги – отрезки с центрами в рациональных точках с «малыми» и «большими» знаменателями. Для многих аддитивных задач удаётся с хорошей точностью вычислить интегралы по «большим» дугам (тригонометрические суммы для $\alpha$ из «больших» дуг близки к рациональным тригонометрическим суммам с малым знаменателем, хорошо вычисляются и являются «большими»); на «малых» же дугах, которые содержат основную долю точек отрезка $[0,1]$, тригонометрические суммы «малы»; их удается нетривиально оценить, что позволяет получить асимптотическую формулу для $J_{k}(N)$ (см. статью Метод Виноградова).

С помощью кругового метода в форме тригонометрических сумм и метода Виноградова оценок тригонометрических сумм получены наиболее сильные результаты в аддитивной теории чисел (см. также Проблема Варинга, Проблема Гольдбаха).