Ме́тод приближе́ния по пара́метру для нелине́йных функциона́льных уравне́ний, метод приближённого решения нелинейных функциональных уравнений. Метод приближения по параметру состоит в том, что решаемое уравнение $P(x)=0$ обобщается к виду $F(x,t)=0$ путём введения параметра $t$, принимающего заданные значения на конечном интервале $t_0\leqslant t\leqslant t^*$, так, что первоначальное уравнение получается при $t=t^*\colon F(x,t^*)\equiv P(x)$, а уравнение $F (x, t_0) = 0$ легко решается или известно его решение $x_0$ (Lahaye. 1948; Давиденко. 1953; Ортега. 1975).

Обобщённое уравнение $F (x, t)=0$ последовательно решается при отдельных значениях $t\colon t_0,t_1,\dots, t_k=t^*$. Уравнение при $t=t_{i+1}$ решается каким-либо итерационным методом [методом Ньютона, простой итерации, итерационным методом вариации параметра (Давиденко. 1975) и др.], начиная с полученного решения $x_i$ уравнения $F (x, t)=0$ при $t=t_i$. Применение на каждом шаге по $i$, например $n$ итераций метода Ньютона, приводит к следующей формуле:$$\begin{array}{c} x_{i+1}^{(\nu+1)}=x_{i+1}^{(\nu)}-\left[F'_x(x_{i+1}^{(\nu)}, t_{i+1})\right]^{-1}F(x_{i+1}^{(\nu)},t_{i+1}),\\ i=0,1,2,\dots,k-1;\quad \nu=0,1,2,\dots,n-1;\quad x_{i+1}^{(0)}=x_i^{(n)}. \end{array}$$Если разность $t_{i+1}-t_i$ достаточно мала, то значение $x_i$ может оказаться достаточно хорошим начальным приближением, обеспечивающим сходимость, для получения решения $x_{i+1}$ при $t=t_{i+1}$ (Lahaye. 1948; Ортега. 1975; Дементьева. 1971).

На практике часто исходная задача естественным образом зависит от некоторого параметра, который может быть выбран в качестве параметра $t$.

Метод приближения по параметру применяется как для решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений (Lahaye. 1948; Давиденко. 1953), так и для более общих нелинейных функциональных уравнений в банаховых пространствах (Дементьева. 1971; Давиденко. 1955; Шидловская. 1958).

Метод приближения по параметру иногда называют также прямым методом вариации параметра (Давиденко. 1953; Давиденко. 1955), а также комбинированным методом прямого и итерационного методов вариации параметра. В этих методах построение решений обобщённого уравнения сводится путём дифференцирования по параметру к решению дифференциальной задачи с начальными условиями (задачи Коши) методами численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Применяя простейший метод Эйлера в прямом методе вариации параметра к задаче Коши$$\frac{dx}{dt}=-\left[F'_x(x,t)\right]^{-1}F'_t(x,t),\quad x(t_0)=x_0,$$приближённые значения $x(t_i)=x_i, i=1,2,\dots,k$, решения $x(t)$ уравнения $F (x, t)=0$ можно определить следующими равенствами:$$x_{i+1}=x_i-(t_{i+1}-t_i)\left[F'_x(x_i,t_i)\right]^{-1}F'_t(x_i,t_i),\quad i=0,1,2,\dots,k-1.$$Элемент $x_k$ будет искомым приближённым решением исходного уравнения $P(x)=0$. Уточнение всех или некоторых значений $x_{i+1}$ можно проводить итерационным методом вариации параметра (Давиденко. 1975) (или методом Ньютона). Обобщённое уравнение при этом рассматривается обычно в виде$$F(x, t_{i+1})=(1-\lambda)F(x^{(0)}, t_{i+1}),\quad x^{(0)}=x_{i+1}$$на конечном промежутке $0<\lambda\leqslant1$ или, заменяя здесь $1-\lambda$ на $e^{-\tau}$, на бесконечном промежутке $0\leqslant\tau\leqslant\infty$.

Метод вариации параметра применён к широкому классу задач как для построения решений, так и для доказательства их существования (Ортега. 1975; Давиденко. 1975; Давиденко. 1955; Шидловская. 1958).