Ме́тод Нью́тона (метод касательных), метод приближённого решения уравнения

$$f(x)=0, \tag1$$где $f$ – дифференцируемая функция. Последовательные приближения метода Ньютона вычисляются по формуле

$$x^{k+1}=x^{(k)}-[f'(x^{(k)})]^{-1}f(x^{(k)}),\quad k=0, 1, 2, \ldots, \tag2$$т. е. каждое следующее приближение $x^{(k+1)}$ является точкой пересечения касательной к $f(x)$ в точке $(x(k), f(x(k))$, связанной с предыдущим приближением, и оси абсцисс.

Если функция $f$ дважды непрерывно дифференцируема, $x^*$ – простой корень уравнения $(1)$ и начальное приближение $x^{(0)}$ лежит достаточно близко к $x^*$, то метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью, т. е.

$|x^{(k+1)}-x^*|⩽c|x^{(k)}-x^*|^2,$где $с$ – постоянная, зависящая только от функции $f$ и начального приближения $x^{(0)}$.

Часто вместо $(2)$ для решения уравнения $(1)$ применяется т. н. модифицированный метод Ньютона:

$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-[f(x^{(0)})]^{-1}f(x^{(k)}).\tag3$$При тех же предположениях, при которых метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, метод $(3)$ имеет линейную сходимость, т. е. сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы.

Применительно к решению нелинейного операторного уравнения $A(u)=0$ с оператором A: $B_1→B_2$, где $B_1 , B_2$ – некоторые банаховы пространства, обобщение $(2)$ называется методом Ньютона – Канторовича. Формулы этого метода имеют вид

$u^{(k+1)}=u(^{k)}-[A′(u^{(k)})]^{-1}A(u^{(k)}),\quad k=0, 1, 2, \ldots,$где $A'(u(^{k)})$ – производная Фреше оператора $A$ в точке $u^{(k)}$, являющаяся обратимым оператором, действующим из $B_1$ в $B_2$. При некоторых предположениях метод Ньютона – Канторовича обладает квадратичной сходимостью, а соответствующий модифицированный метод – линейной сходимостью.

Метод разработан И. Ньютоном (1669). Один из методов безусловной минимизации также называется методом Ньютона.