Нелине́йное уравне́ние, алгебраическое или трансцендентное уравнение вида

$$f(x)=0,\tag1$$

где $x$ – действительное число, $f(x)$ – нелинейная функция. Системой нелинейных уравнений называется система

$$\begin{matrix}f_1(x_1, x_2,..., x_n)=0,\\ f_2(x_1, x_2,..., x_n)=0,\\ \ldots\:\ldots\:\ldots\:\ldots\\ f_n(x_1, x_2,..., x_n)=0,\end{matrix}\tag2$$

не являющаяся системой линейных алгебраических уравнений. Уравнение $(1)$ и система $(2)$ могут трактоваться как нелинейное операторное уравнение

$$L (u)=g\tag3$$

с нелинейным оператором $L$, действующим из конечномерного векторного пространства $\bf R^n$ в $\bf R^n$.

Для некоторых нелинейных уравнений известны формулы, дающие их решения. Например, квадратное уравнение

$$ax^2+bx+c=0,$$

где $a≠0,\: b$ и $c$ – действительные числа, в случае когда дискриминант $D=b^2-4ac$ неотрицателен, имеет два действительных корня (при $D=0$ корни совпадают). Однако явные формулы для решения нелинейных уравнений можно получить лишь в исключительных случаях.

В общем случае приходится ограничиваться численными решениями нелинейного уравнения $(3)$, которые находятся итерационными методами. В этих методах при каждой итерации переходят от одного приближения $u_n$ решения нелинейного уравнения (3) к другому приближению $u_{n+1}, \: n=0,1,2,\dots,$ и при большом числе итераций решение нелинейного уравнения можно получить с нужной точностью.

Одним из распространённых методов решения нелинейного уравнения $(3)$ является метод простой итерации, в котором предполагается возможность замены $(3)$ эквивалентным уравнением

$$u=P(u),\tag4$$

где $u∈\bf R^n$, а оператор $P$, отображающий $\bf R^n$ в $\mathbf R^n$, является оператором сжатия, т. е. существует такое число $q,\; 0< q< 1$, что для любых $u,\; v∈\bf R^n$

$$\|P(u)-P(v)\|⩽q\|u-v\|,$$

где $\|\cdot\|$ – норма в $\bf R^n$. В силу т. н. принципа сжатых отображений уравнение (4) имеет единственное решение $u^*$, последовательность итераций

$$u_{n+1}=P(u_n),\: n=0, 1,\ldots,$$

сходится к $u^*$ при любом начальном приближении $u_0$, и для погрешности на $n$-й итерации справедлива оценка

$$\|u_n-u^*\|⩽q^n(1-q)^{–1}\|u_0-u_1\|.$$

Для дважды непрерывно дифференцируемых функций $f_i,\: i=1, 2,\ldots, n$, при наличии хорошего начального приближения $u_0$ к решению системы (2) часто эффективным методом решения является метод Ньютона – Канторовича (см. Метод Ньютона), который может быть отнесён к группе т. н. методов линеаризации. Другим представителем этой группы методов является метод секущих.

Большое число итерационных методов (т. н. методов спуска) основано на замене задачи решения нелинейного уравнения (3) задачей минимизации некоторого функционала, например функционала

$$\|L(u)-g\|^2.$$

О методах решения последней задачи см. Методы безусловной минимизации.