Ме́ра приближе́ния фу́нкций, количественное выражение погрешности приближения. Когда речь идёт о приближении функции $f(t)$ функцией $\varphi(t)$, мера приближения $\mu(f,\varphi)$ обычно определяется метрикой некоторого функционального пространства, содержащего как $f(t)$, так и $\varphi(t)$. Например, если функции $f(t)$ и $\varphi(t)$ непрерывны на отрезке $[a, b]$, часто пользуются равномерной метрикой пространства $C[a, b]$, т. е. полагают$$\mu (f, \varphi) = \ \max _ {a \leqslant t \leqslant b } \ | f (t) -\varphi (t) | .$$Если же непрерывность приближаемой функции не гарантирована или по условию задачи важна близость между $f(t)$ и $\varphi(t)$ лишь в среднем на $[a, b]$, можно использовать интегральные метрики пространств $L_p[a, b]$, полагая$$\mu (f, \varphi) = \ \int\limits _ { a } ^ { b } q (t) | f (t) - \varphi (t) | ^ {p} \ dt,\quad p > 0,$$где $q(t)$ – некоторая весовая функция. Здесь наиболее употребительным и удобным с практической точки зрения является случай $p=2$ (см. в статье Среднеквадратическое приближение функций).

Мера приближения функций может учитывать значения функций $f (t)$ и $\varphi(t)$ лишь в отдельных точках $t_k$, $k=1,\dots, n$, промежутка $[a, b]$, например$$\mu (f, \varphi) = \ \max _ {1 \leqslant k \leqslant n } \ | f (t _ {k})-\varphi (t _ {k}) | ,$$$$\mu (f, \varphi) = \sum _ {k = 1 } ^ { n } q _ {k} | f (t _ {k})-\varphi (t _ {k}) | ^ {p} ,$$где $q_k$ – некоторые положительные коэффициенты.

Аналогично определяется мера приближения функций двух и большего числа переменных.

Мера приближения функции $f(t)$ семейством функций $F$ обычно определяется как наилучшее приближение:$$E (f, F) = \ \mu (f, F) = \ \inf _ {\varphi \in F } \ \mu (f, \varphi).$$Под мерой приближения класса $\mathfrak M$ функций $f (t)$ функциями $\varphi(t)$ из фиксированного множества $F$ понимают величину$$E (\mathfrak M , F) = \mu (\mathfrak M , F) = \underset{f \in \mathfrak M }{\sup}\ \underset{\varphi \in F }{\vphantom{\sup}\inf}\ \mu (f, \varphi),$$которая характеризует максимальное отклонение функций множества $\mathfrak M$ от ближайших к ним функций из $F$.

В общем случае, когда рассматривается приближение в произвольном метрическом пространстве $X$, мера приближения $\mu (x, u)$ элемента $x$ элементом $u$ $($множеством $F)$ есть расстояние $\rho (x, u)$ $(\rho (x, F))$ между $x$ и $u$ $(x$ и $F)$ в смысле метрики пространства $X$.