Ма́лые знамена́тели, делители вида

$$\begin{gathered} i\langle P, \Omega\rangle +\langle Q, \Lambda\rangle \equiv \\ \equiv i p_1 \omega_1+\ldots+i p_m \omega_m+q_1 \lambda_1+\ldots+q_n \lambda_n, \end{gathered} \tag{1}$$появляющиеся у коэффициентов рядов при интегрировании дифференциальных уравнений посредством рядов Тейлора, Фурье или Пуассона; здесь $P=\left(p_1, \ldots, p_m\right)$, $Q=\left(q_1, \ldots, q_n\right)$ – целочисленные, $\Omega=\left(\omega_1, \ldots, \omega_m\right)$ – действительный и $\Lambda=\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right)$ – комплексный векторы, а $\langle\cdot, \cdot\rangle$ – скалярное произведение. При этом существование решения и такие его качества, как аналитичность, гладкость и т. п., существенно зависят от арифметической природы чисел $\omega_j, \lambda_k$ и таких же качеств (аналитичность, гладкость и т. п.) дифференциальных уравнений. Ниже указаны условия на векторы $\Omega$ и $\Lambda$, которые обеспечивают аналитичность решения соответствующей аналитической задачи. Эти условия различны для задач линейных и нелинейных.

Линейные задачи

а) Ряд Тейлора. Решение $\xi$ уравнения

$$\sum_{k=1}^n \frac{\partial \xi}{\partial x_k} \lambda_k x_k=\varphi(X) \equiv \sum_{\langle Q, \Lambda\rangle \neq 0,\,\, q_k \geqslant 0} \varphi_Q {x_1^{q_1}} \ldots x_n^{q_n},$$где $X=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$, а функция $\varphi$ аналитична в точке $X=0$ [причём $\varphi(0)=0$] и разлагается в указанный ряд Тейлора, даётся рядом Тейлора

$$\xi=\sum \frac{\varphi_Q}{\langle Q , \Lambda\rangle} x_1^{q_1} \ldots x_n^{q_n}.$$Этот ряд сходится в некоторой окрестности нуля, если существуют такие числа $\varepsilon, \nu>0$, что

$$|\langle Q, \Lambda \rangle |\geqslant \varepsilon e^{-\nu|Q|},\quad |Q|=|q_1|+\ldots+|q_n|, \tag{2}$$для всех целочисленных $Q \geqslant 0$, $\langle Q, \Lambda\rangle \neq 0$. Это условие неулучшаемо в классе всех аналитических функций $\varphi$; оно необходимо для сходимости ряда $\xi$.

б) Ряд Фурье. Решение $\eta$ уравнения

$$\sum_{i=1}^m \frac{\partial \eta}{\partial \nu_j} \omega_j=\psi(Y) \equiv \sum_{\langle P, Q\rangle \neq 0} \psi_P \exp i\langle P, Y\rangle, \tag{3}$$где $Y=\left(y_1, \ldots, y_m\right)$, правая часть которого разложена в ряд Фурье, даётся рядом Фурье

$$\eta=\sum \frac{\psi_P}{i\langle P, \Omega\rangle} \exp i\langle P, Y\rangle,$$который сходится в некоторой полосе $|\operatorname{Im} Y|<\varepsilon_0$, если функция $\psi$ аналитична и

$$\lim _{|P| \rightarrow \infty} \frac{\ln |\langle P, \Omega\rangle|}{|P|} \geqslant 0, \tag{4}$$где предел берётся по всем целочисленным $P$, $\langle P, \Omega\rangle \neq 0$. Это условие неулучшаемо в классе всех аналитических функций $\psi$ вида (3).

Уравнение (3) встречается в задаче приведения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на торе [см. Колмогоров. 1953, там вместо условия (4) ошибочно дано (2)]. Аналогично обстоит дело при интегрировании по $t$ условно периодической функции $\psi(\Omega_t)$. Подобные линейные задачи возникают в каждом приближении при итерационном решении нелинейных задач (в теории возмущений).

Если условия (2) или (4) не выполнены, то неформальное решение соответствующей задачи может не быть аналитическим, гладким или даже не существует вовсе (в зависимости от арифметической природы векторов $\Lambda$ и $\Omega$), хотя формальные решения – ряды $\xi$ и $\eta$ всегда существуют (см. Колмогоров. 1953).

Нелинейные задачи

В таких задачах малые знаменатели (1) появляются не поодиночке, а в виде произведений.

a) Ряды Тейлора. Рассмотрим систему вблизи неподвижной точки $X=0$:

$$\dot{x}_j=\lambda_j x_j+x_j \varphi_j(X), \quad j=1, \ldots, n, \tag{5}$$где $\varphi_j$ – сходящиеся ряды Тейлора без свободных членов. Пусть $\langle Q, \Lambda\rangle \neq 0$ для целочисленных $Q \geqslant 0$, $Q \neq 0$. Тогда существует формальная обратимая замена координат

$$x_j=u_j+u_j \xi_j(U),\quad j=1, \ldots, n,$$где $\xi_j$ – также ряды Тейлора без свободных членов; данная замена приводит систему (5) к нормальной форме

$$\dot{u}_j=\lambda_j u_j,\quad j=1, \ldots, n. \tag{5'}$$Ряды $\xi_j$ сходятся в некоторой окрестности нуля, если

$$\sum_{l=1}^{\infty} \frac{\ln \beta_l}{2^l}>-\infty, \tag{6}$$где $\beta_l=\min |\langle Q, \Lambda\rangle|$ по $|Q|<2^l$, $\langle Q, \Lambda\rangle \neq 0$, $Q \geqslant 0$ (cм. Брюно. 1971, 1972).

Впервые нелинейную задачу такого типа решил K. Зигель (C. Siegel, 1942; см. Брюно. 1971; 1972; Зигель. 1959) при более жёстком условии:

$$|\langle Q, \Lambda\rangle| \geqslant\varepsilon|Q|^{-\nu}. \tag{7}$$При этом условии $\beta_l \geqslant \ln \varepsilon-l \nu \ln 2$ и ряд (6) сходится. Условие (2) эквивалентно ограниченности членов ряда (6); оно необходимо для сходимости рядов $\xi_j$ при произвольных аналитических $\varphi_j$. Но пока (1982) неизвестно, что происходит в «щели» между условиями (2) и (6) (см. более сложные резонансные ситуации в Брюно. 1971; 1972). Если условие (2) не выполнено, то между решениями системы (5) и её нормальной формы (5') может не быть аналитического, гладкого и даже топологического соответствия.

б) Ряды Пуассона. Пусть аналитическая система

$$\left.\begin{aligned} \dot{x}_j&=\lambda_j x_j+x_j \sum \varphi_{j PQ} X^Q \exp i\langle P, Y\rangle, \\ \dot{y}_k&=\omega_k+\sum \psi_{k P Q} X^Q \exp i\langle P, Y\rangle, \\ X^Q&=x_1^{q_1} \ldots x_n^{q_n},\,\, j=1, \ldots, n;\,\, k=1, \ldots, m, \end{aligned}\right\} \tag{8}$$правые части которой разложены в ряды Пуассона вблизи инвариантного тора $X=0$ (т. е. в ряды Тейлора по $X$ и ряды Фурье по $Y$), имеет формальное интегральное многообразие

$$x_i=\eta_j\left(x_{r+1}, \ldots, x_n, Y\right), \quad j=1, \ldots, r, \tag{9}$$где $\eta_j$ – также ряды Пуассона. Спрашивается, когда это многообразие будет аналитическим (т. е. когда ряды $\eta_j$ будут абсолютно сходиться для достаточно малых $|X|$ и $|\operatorname{Im} Y|$). При этом среди координат $x_j$ могут быть и малые параметры, для них $\lambda_j=0$. Впервые такая задача решена А. Н. Колмогоровым (Колмогоров. 1954) для гамильтоновой системы (8) с $m$ степенями свободы и одним малым параметром $x_n$ (т. е. $m+1=n$ и $\Lambda=0$): при условии

$$|\langle P, \Omega\rangle| \geqslant \varepsilon|P|^{-\nu} \tag{10}$$была доказана аналитичность многообразия (9) с $r=m$, состоящего из инвариантных торов. Там же для доказательства сходимости рядов Пуассона $\eta_{j}$ был впервые предложен «метод Ньютона», ставший основным в исследовании нелинейных задач. Условие (10) и его аналог

$$|i\langle P, \Omega\rangle+\langle Q, \Lambda\rangle| \geqslant \varepsilon(|P|+|Q|)^{-\nu}$$использовались затем в задачах такого же типа (см. Мозер. 1973; Арнольд. 1963; Брюно. 1979). Условия (2) и (4) здесь также необходимы для сходимости рядов (9) (см. более сложные вырожденные ситуации в Брюно. 1979). Если эти условия не выполнены, то может не быть аналитического (и даже непрерывного) инвариантного многообразия вида (9).

Самое жёсткое из ограничений (2), (6), (7) – условие (7) – при $\nu>n-1$ выполнено для почти всех (по мере Лебега) векторов $\Lambda$. Свойства типа (2), (6), (7) для векторов $\Lambda$ изучаются в теории диофантовых приближений. Достаточно хорошо изучен двумерный случай. Пусть $q_l$ – знаменатель $l$-й подходящей дроби цепной дроби числа $\lambda=\lambda_2 / \lambda_1<0$. Тогда условие (6) эквивалентно сходимости ряда

$$\sum_{l=1}^{\infty} \frac{\ln q_{l+1}}{q_l},$$а условие (2) – ограниченности его членов.

Рассматривались малые знаменатели (1) с переменными векторами $\Omega$ и $\Lambda$ (см. Арнольд. 1963).

Малые знаменатели впервые встретились в задачах небесной механики, и основные линейные задачи были решены в 1884 г. Г. Брунсом (Н. Bruns). Вообще в Солнечной системе имеется много «острых соизмеримостей» между частотами, следствием которых являются малые знаменатели (1). Например, малый знаменатель $2 \omega_1-5 \omega_2=0,007 \ldots$, где $\omega_1$ и $\omega_2$ – частоты движения Юпитера и Сатурна соответственно, приводит к появлению больших взаимных возмущений в движении этих планет. Другой пример: щели в поясе астероидов и в кольце Сатурна соответствуют резонансам с частотой возмущающего тела (Юпитера и Мимаса соответственно).