Квазигру́ппа, множество с одной бинарной операцией (называемой обычно умножением), в котором каждое из уравнений $ax=b$ и $ya=b$ имеет единственное решение для любых элементов $a$, $b$ этого множества. Квазигруппа с единицей называется лупой.

Квазигруппа – естественное обобщение понятия группы. Квазигруппы возникают в различных областях математики, например в теории проективных плоскостей, неассоциативных тел, в ряде вопросов комбинаторного анализа и т. п. Термин «квазигруппа» введён Р. Муфанг; с её работ по недезарговым плоскостям (1935), в которых выяснялась связь таких плоскостей с квазигруппами, собственно и началось развитие теории квазигрупп.

Основные понятия

Отображения $R_a: x\to xa$ и $L_a: x\to ax$ называются правой и левой трансляциями (или сдвигами) относительно элемента $a$. В квазигруппе трансляции являются подстановками множества её элементов. Подгруппа $G$ группы подстановок множества $Q$, порождённая всеми трансляциями квазигруппы $Q(\cdot)$, называется группой, ассоциированной с квазигруппой $Q(\cdot)$. Существует тесная связь между строением группы $G$ и квазигруппы $Q (\cdot)$.

Гомоморфный образ квазигруппы, вообще говоря, не квазигруппа, а группоид с делением. Гомоморфизмам квазигруппы на квазигруппу соответствуют т. н. нормальные конгруэнции [конгруэнция $\theta$ на $Q(\cdot)$ нормальна, если каждое из соотношений $ac\theta bc$ и $ca\theta cb$ влечёт $a\theta b$]. В группах все конгруэнции нормальны. Подквазигруппа $H$ называется нормальной, если существует такая нормальная конгруэнция $\theta$, что $H$ совпадает с одним из классов конгруэнции. Существуют квазигруппы, в которых два или даже все классы по конгруэнции $\theta$ – подквазигруппы.

С каждой квазигрупповой операцией на множестве связаны ещё две операции, называемые левой и правой обратной операциями, обозначаемые $( / )$ и $( \setminus )$ соответственно. Они определяются следующим образом: $z/y=x$ и $x\setminus z = y$, если $x\cdot y = z$. Рассматривая всевозможные перестановки трёх элементов $x$, $y$, $z$, можно получить пять обратных операций, не считая исходной. Переход от основной операции к одной из них называется парастрофией. Квазигруппы, в которых все обратные операции совпадают с основной, называются тотально-симметрическими, или TS-квазигруппами. TS-квазигруппы можно определить также как квазигруппы, удовлетворяющие тождествам $xy=yx$ и $x(xy) = y$. Идемпотентные TS-квазигруппы (т. е. с дополнительным тождеством $x^2=x$) называются квазигруппами Штейнера. Они тесно связаны с системами троек Штейнера (см. Система Штейнера).

Одним из самых важных понятий в теории квазигрупп является понятие изотопии. Изотопия может быть определена и для квазигрупп, заданных на разных (но равномощных) множествах. Число неизотопных квазигрупп, которые могут быть заданы на конечном множестве мощности $n$, известно только для $n\leqslant 8$.

Основные классы квазигрупп

Самые первые работы по квазигруппам относятся к таким обобщениям групп, в которых требование ассоциативности заменяется более слабыми условиями, теперь называемыми постулатами «А» и «Б» Сушкевича. Квазигруппа удовлетворяет постулату Сушкевича «А», если решение $x$ уравнения $(ab)c=a(bx)$ зависит только от $b$ и $c$, и постулату «Б», если это решение зависит только от $c$. Доказано, что квазигруппы этих классов изотопны группам. В случае когда решение такого уравнения зависит от $a$ и $c$, квазигруппа называется левой $F$-квазигруппой. Аналогично, при помощи уравнения $(ab)c=x(bc)$ определяется правая $F$-квазигруппа. Квазигруппа, являющаяся левой и правой $F$-квазигруппой одновременно, называется $F$-квазигруппой. Существуют $F$-квазигруппы, не изотопные группам. Идемпотентная $F$-квазигруппа называется дистрибутивной квазигруппой и может быть определена тождествами:$$(yz)x=(yx)(zx), \quad x(yz)=(xy)(xz),$$называемыми тождествами дистрибутивности. Доказано, что дистрибутивные квазигруппы изотопны лупам Муфанг (см. Лупа). Квазигруппа $Q(\cdot)$ медиальна, если выполняется тождество$$(xy)(uv)=(xu)(yv).$$Всякая медиальная квазигруппа изотопна абелевой группе $Q(+)$, и изотопия имеет вид$$x\cdot y = \varphi x +\psi y + c,$$где $\varphi$, $\psi$ – коммутирующие автоморфизмы группы, а $c$ – некоторый элемент $Q$ (теорема Тоёды).

Системы квазигрупп и функциональные уравнения

Пусть на множестве $Q$ задана некоторая система квазигрупп. В этом случае операции удобнее обозначать буквами: вместо $ab=c$ писать, например, $A(a,\, b)=c$. Квазигрупповые операции на $Q$ предполагаются связанными между собой некоторым образом, чаще всего какими-либо тождествами, называемыми в этом случае «функциональными уравнениями». Обычно решается задача нахождения системы квазигрупп на $Q$ по заданным функциональным уравнениям. Например, решено уравнение общей ассоциативности$$A_1[A_2(x,\, y),\, z] = A_3[x,\, A_4(y,\, z)],\tag{1}$$а именно: доказано, что если четыре квазигруппы удовлетворяют (1), то они изотопны одной группе $Q(\cdot)$, а общее решение даётся равенствами$$\begin{gathered} A_1(x,\, y)= \alpha x\cdot \beta y,\quad A_2(x,\, y) = \alpha^{-1}(\varphi x\cdot \psi y),\\ A_3(x,\, y)= \varphi x\cdot \theta y,\quad A_4(x,\, y) = \theta^{-1}(\psi x\cdot \beta y), \end{gathered}$$где $\alpha$, $\beta$, $\varphi$, $\psi$, $\theta$ – любые подстановки множества $Q$. Очень похоже решается уравнение общей медиальности$$A_1[A_2(x,\, y),\, A_3(u,\, v)] = A_4[A_5(x,\, u),\, A_6(y,\, v)].$$Все шесть квазигрупп здесь оказываются изотопными одной абелевой группе.

n-арные квазигруппы

Множество с одной $n$-арной операцией называется $n$-квазигруппой, если каждое из уравнений$$a_1 a_2 \dots a_{i-1} x a_{i+1} \dots a_n = b$$(где $b,\, a_1,\,a_2,\,\dots,a_n\in Q$, $i=1,\,2,\,\dots, n$) имеет единственное решение. На $n$-квазигруппы переносятся основные понятия теории квазигрупп (изотопия, парастрофия и т. д.). Каждая $n$-квазигруппа изотопна некоторой $n$-лупе (см. Лупа).

Некоторые классы обычных бинарных квазигрупп (такие как классы медиальных, TS-квазигрупп и др.) имеют аналог в $n$-арном случае. Операция $A$ арности $n$ приводима, если существуют две такие операции $B$ и $C$ арности не меньше двух, что$$A(x_1,\, x_2,\, \dots,\, x_n) = B(x_1,\, x_2,\,\dots,\, x_{i-1},\, C(x_i,\,\dots,\, x_j),\, x_{j+1},\, \dots,\, x_n)$$(сокращённая запись $A = B \overset{i}{+} C$). В противном случае $A$ называется неприводимой. Для $n$-арных квазигрупп верна теорема, аналогичная теореме о каноническом разложении натурального числа на простые множители.

Комбинаторные вопросы

Таблица умножения конечной квазигруппы, т. е. её таблица Кэли, в комбинаторике известна под названием «латинский квадрат». Одна из задач комбинаторной теории квазигрупп – отыскание систем взаимно ортогональных квазигрупп на заданном множестве – важна для построения конечных проективных плоскостей. Две квазигруппы $A$ и $B$, заданные на множестве $Q$, ортогональны, если система уравнений $A(x, y)=a$, $B(x,y)=b$ имеет единственное решение для любых $a$ и $b$ из $Q$. Ортогональность конечных квазигрупп эквивалентна ортогональности их латинских квадратов. Доказано, что система взаимно ортогональных квазигрупп, определённых на множестве из $n$ элементов, не может содержать более чем $n–1$ квазигруппу.

Другим комбинаторным понятием, связанным с квазигруппами, является понятие полной подстановки. Подстановка $\varphi$ квазигруппы $Q(\cdot)$ называется полной, если отображение $\varphi': x\to x\varphi x$ также подстановка множества $Q$. Не всякая квазигруппа обладает полной подстановкой. Квазигруппа, обладающая полной подстановкой, называется допустимой. Для допустимой группы существует ортогональная к ней квазигруппа, и обратно: если для группы существует ортогональная к ней квазигруппа, то группа допустима. Если конечная квазигруппа порядка $n$ допустима, то из неё специальным процессом (продолжением) можно получить квазигруппу порядка $n+1$.

Алгебраические сети

Квазигруппы имеют естественную геометрическую интерпретацию с помощью алгебраических сетей, называемых также алгебраическими тканями. Алгебраической сетью называется множество, состоящее из элементов двух видов – линий и точек – с некоторым отношением инцидентности между ними (вместо слова «инцидентна» употребляются также выражения «проходит через», «лежит на»). Пусть множество линий $N$ разбито на три класса так, что выполняются аксиомы: 1) две линии из различных классов инцидентны ровно одной общей точке из $N$; 2) каждая точка инцидентна ровно одной линии каждого класса. Тогда $N$ называется $3$-сетью. Аналогично, разбиением на $k$ классов могут быть определены $k$-сети. Число (мощность множества) линий в каждом классе одинаково и равно числу (мощности множества) точек любой линии сети. Оно называется порядком сети. Сети могут быть координатизированы с помощью квазигрупп следующим образом. Пусть дана $3$-сеть $N$ с множеством линий $L_1$, $L_2$, $L_3$ и $Q$ – множество, мощность которого равна порядку сети $N$. И пусть фиксированы некоторые взаимно однозначные соответствия между $Q$ и каждым из $L_i$, т. е. каждой линии класса $L_i$ дана некоторая координата в $Q$. Множество $Q$ становится квазигруппой (координатная квазигруппа сети), если на нём определить следующую операцию: $xy=z$ тогда и только тогда, когда общая точка линии с координатой $x$ из $L_1$ и линии с координатой $y$ из $L_2$ лежит на линии с координатой $z$ из $L_3$. Обратно, каждая квазигруппа является координатной квазигруппой некоторой $3$-сети. При различных взаимно однозначных соответствиях между $Q$ и $L_i$ получаются различные, но изотопные квазигруппы на множестве $Q$. Каждой $3$-сети, в которой зафиксирован порядок классов $L_1$, $L_2$, $L_3$, соответствует класс всех изотопных между собой квазигрупп. Перенумерации классов сети соответствует парастрофия координатных квазигрупп.

Каждому свойству $3$-сети соответствует инвариантное при изотопии (т. е. универсальное) свойство квазигруппы. Такими свойствами являются, например, условия замыкания, наиболее известны из которых условия замыкания Томсена, Рейдемейстера, Бола, шестиугольника. Условие Томсена для координатной квазигруппы означает, что из соотношений $x_1y_2=x_2y_1$ и $x_1y_3=x_3y_1$ для её элементов $x_1$, $x_2$, $x_3$, $y_1$, $y_2$, $y_3$ следует соотношение $x_2y_3=x_3y_2$. В квазигруппе выполняется условие Томсена тогда и только тогда, когда она изотопна абелевой группе. Аналогичные характеристики квазигрупп получены и для других условий замыкания.

$k$-сети координатизируются с помощью $k–2$ взаимно ортогональных квазигрупп.