Гессиа́н функции $f$, квадратичная форма

$$H(x)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j$$или

$$H(z)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} z_i \bar{z}_j,$$где $a_{i j}=\partial^2 f(p) / \partial x_i \partial x_j$ (или $\partial^2 f(p) / \partial z_i \partial \overline{z_j}$) и $f(p)$ задана на $n$-мерном действительном пространстве $\mathbb{R}^n$ (или комплексном пространстве $\mathbb{C}^n$) с координатами $x_1, \ldots, x_n$ (или $z_1, \ldots, z_n$). Введён О. Гессе (1844). С помощью локальной системы координат это определение переносится на функции, определённые на действительном многообразии класса $C^2$ (или на комплексном пространстве). В обоих случаях гессиан – квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не зависящая от выбора системы координат. В теории Морса через гессиан определяются понятия (не)вырожденной критической точки, формы Морса и формы Ботта. В комплексном анализе гессиан участвует в определении псевдовыпуклой области и плюрисубгармонической функции.