Конфо́рмная свя́зность, дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии $M$, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к $M$ гладкое расслоенное пространство $E$ имеет своим типовым слоем конформное пространство $C_n$ размерности $n=\operatorname{dim} M$. Структурой такого пространства $E$ к каждой точке $x \in M$ присоединяется экземпляр конформного пространства $\left(C_n\right)_x$, который отождествляется (с точностью до конформных преобразований, сохраняющих $x$ и все направления в ней) с касательным пространством $T_x(M)$, дополненным одной бесконечно удалённой точкой. Конформная связность, как связность в таком $E$, предусматривает сопоставление каждой гладкой кривой $\mathscr{L} \subset M$ с началом $x_0$ и каждой её точке $x_t$ конформное отображение $\gamma_t:\left(C_n\right)_{x_t} \rightarrow\left(C_n\right)_{x_0}$ так, что удовлетворяется некоторое условие (см. ниже условие на $\gamma_t$). Пусть пространство $C_n$ отнесено к реперу, который состоит из двух точек (вершин) и из $n$ проходящих через них попарно ортогональных гиперсфер. Такой репер интерпретируется в псевдоевклидовом пространстве ${ }^1 R_{n+2}$ как класс эквивалентных базисов, удовлетворяющих условиям
$$\tag{1} \left.\begin{array}{c} \left(e_0, e_{n+1}\right)=\left(e_1, e_1\right)=\ldots=\left(e_n, e_n\right), \\ \left(e_0, e_0\right)=\left(e_{n+1}, e_{n+1}\right)=\left(e_i, e_j\right)=0, \\ i, j=1,\ldots, n, \quad i \neq j, \end{array}\right\}$$относительно эквивалентности

$$\left\{e_\alpha\right\} \sim\left\{\lambda e_\alpha\right\}, \quad \alpha=0,1, \ldots, n+1.$$Пусть $M$ покрыто координатными областями и в каждой области фиксировано гладкое поле репера в $\left(C_n\right)_x$, у которого вершина, определяемая вектором $e_0$, совпадает c $x$. Условие на $\gamma_t$ следующее: при $t \rightarrow 0$, когда $x_t$ перемещается по $\mathscr{L}$ до $x_0, \gamma_t$ должно стремиться к тождественному отображению, причём главная часть его отклонения от последнего должна определяться относительно поля репера в некоторой окрестности точки $x_0$ матрицей вида
$$\tag{2} \omega=\left\|\omega_\alpha^\beta\right\|=\left\|\begin{array}{c:c:c} \omega_0^0 & \omega_0^j & 0 \\ \hdashline \omega_i^0 & \omega_i^j & -\omega_0^i \\ \hdashline 0 & -\omega_j^0 & -\omega_0^0 \end{array}\right\|,$$

$$\omega_i^j+\omega_j^i=0, \quad \alpha, \beta=0, \ldots, n+1 ;\quad i, j=1, \ldots, n,$$из $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$ линейных дифференциальных форм $\omega_0^0, \omega_0^i, \omega_i^j(i<j),\omega_i^0$ типа
$$\tag{3} \omega_\alpha^\beta=\Gamma_{\alpha i}^\beta d x^i, \quad \operatorname{det}\left\|\Gamma_{0 i}^j\right\| \neq 0.$$Другими словами, образ репера в точке $x_t$ при $\gamma_t$ должен быть определён векторами

$$e_\beta\left[\delta_\alpha^\beta+\omega_\alpha^\beta(X) t+\varepsilon_\alpha^\beta(t)\right],$$где $X$ – касательный вектор к $\mathscr{L}$ в точке $x_0$ и

$$\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\varepsilon_\alpha^\beta(t)}{t}=0.$$При преобразовании репера поля в произвольной точке $x$ согласно формулам $e_{\alpha^{\prime}}=A_{\alpha^{\prime}}^\beta e_\beta$, $e_\beta=A_\beta^{\alpha^{\prime}} e_{\alpha^{\prime}}$, coхраняющим условия $(1)$, т. е. при переходе к произвольному элементу главного расслоенного пространства $\Pi$ реперов в пространствах $\left(C_n\right)_x$, формы $(3)$ заменяются следующими $1$-формами на $\Pi$:

$$\omega_{\alpha^{\prime}}^{\beta^{\prime}}=A_\gamma^{\beta^{\prime}} d A_{\alpha^{\prime}}^\gamma+A_{\alpha^{\prime}}^\gamma A_\delta^{\beta^{\prime}} \omega_\gamma^\delta,$$образующими также матрицу $\omega^{\prime}$ вида $(2)$. $2$-формы

$$\Omega_{\alpha^{\prime}}^{\beta^{\prime}}=d \omega_{\alpha^{\prime}}^{\beta^{\prime}}+\omega_{\gamma^{\prime}}^{\beta^{\prime}} \wedge \omega_{\alpha^{\prime}}^{\gamma^{\prime}}$$образуют матрицу $\Omega^{\prime}=\left\|\Omega_{\alpha^{\prime}}^{\beta^{\prime}}\right\|$ такой же структуры, как $(2)$, и выражаются по формулам $\Omega_{\alpha^{\prime}}^{\beta ^\prime}=A_{\alpha^{\prime}}^\gamma A_\delta^{\beta ^\prime} \Omega_{\gamma}^\delta$ через формы $\Omega_\alpha^\beta=d \omega_\alpha^\beta+\omega_\gamma^\beta \wedge \omega_\alpha^\gamma$, являющиеся в силу $(3)$ линейными комбинациями от $d x^k \wedge d x^l$, а следовательно и от $\omega_0^k \wedge \omega_0^l$. Для элементов матрицы $\omega^{\prime}$ имеют место структурные уравнения конформной связности (где для простоты опущены штрихи):
$$\tag{4} \left.\begin{array}{l} d \omega_0^0+\omega_i^0 \wedge \omega_0^i=\Omega_0^0,\\ d \omega_0^i+\left(\omega_j^i-\delta_j^i \omega_0^0\right) \wedge \omega_0^j=\Omega_0^i, \\ d \omega_i^j+\omega_k^j \wedge \omega_i^k+\omega_0^j \wedge \omega_i^0+\omega_j^0 \wedge \omega_0^i=\Omega_i^j,\quad i<j, \\ d \omega_i^0+\omega_j^0 \wedge\left(\omega_i^j-\delta_i^j \omega_0^0\right)=\Omega_i^0. \end{array}\right\}$$Здесь правые части полубазовы, т. е. являются линейными комбинациями только от $\omega_0^k \wedge \omega_0^l$; они составляют систему форм кручения-кривизны конформной связности и преобразуются по законам

$$\begin{gathered} \Omega_{0^{\prime}}^{0^{\prime}}=A_{0^{\prime}}^0\left(A_0^{0^{\prime}} \Omega_0^0+A_i^{0^{\prime}} \Omega_0^i\right), \\ \Omega_{0^{\prime}}^{i^{\prime}}=A_{0^{\prime}}^0 A_j^{i^{\prime}} \Omega_0^j, \\ \Omega_i^{j^{\prime}}=A_{i^{\prime}}^k A_l^{j^{\prime}} \Omega_k^l+\Omega_0^k\left(A_{i^{\prime}}^0 A_k^{j^{\prime}}-A_{i^{\prime}}^k A_{n+1}^{j^{\prime}}\right) . \end{gathered}$$Равенства $\Omega_0^i=0$ имеют инвариантный смысл и выделяют конформную связность нулевого кручения. Пусть

$$\Omega_i^j=\frac{1}{2} C_{i k l}^j \omega_0^k \wedge \omega_0^l;$$тогда при $\Omega_0^i \equiv 0$:

$$C_{i^{\prime} k^{\prime} l^{\prime}}^{j^{\prime}}=\left(A_0^{0^{\prime}}\right)^2 A_{i^{\prime}}^p A_q^{j^{\prime}} A_{k^{\prime}}^r A_{l^{\prime}}^{\mathrm{s}} C_{p r s}^q$$и для $C_{i k}=C_{i k j}^j$:

$$C_{i^{\prime} k^{\prime}}=\left(A_0^{0^{\prime}}\right)^2 A_{i^{\prime}}^p A_{k^{\prime}}^r C_{p r}.$$Инвариантные тождества $\Omega_0^i \equiv \Omega_0^0 \equiv 0, C_{i k}=0$ выделяет специальный класс т. н. (по Картану) нормальных конформных связностей.

Формы $(3)$, образующие матрицу вида $(2)$, определяют конформные связности на $M$ однозначно: образ репера в точке $x_t$ при $\gamma_t:\left(C_n\right)_{x_t} \rightarrow\left(C_n\right)_{x_0}$ определяется решением $\left\{e_\alpha(t)\right\}$ системы

$$d u_\alpha=\left(\omega_\alpha^\beta\right)_{x(t)}(\dot{x}(t)) u_\beta$$при начальных условиях $u_\alpha(0)=e_\alpha$, где $x^i=x^i(t)$ – уравнения кривой $\mathscr{L}$ в некоторой координатной окрестности её точки $x_0$ с координатами $x^i(0)$. Любые $1$-формы $\omega_0^0, \omega_0^i, \omega_i^j(i<j), \omega_i^0$ на $\Pi$, удовлетворяющие уравнениям $(4)$ с правыми частями, выражающимися через $\omega_0^k \wedge \omega_0^e$, где $\omega_0^i\,(i=1, \ldots, n)$, – линейно независимы, определяют в указанном смысле некоторую конформную связность на $M$.

Конформные связности дают удобный аппарат для исследования конформных отображений римановых пространств. Конформная связность сводится к связности Леви-Чивиты некоторого риманова пространства, если на $M$ существуют локальные поля реперов, относительно которых

$$\omega_i^0=P_{i j} \omega_0^j, \quad \omega_0^0=Q_i \omega_0^i, \quad \Omega_0^i=Q_j \omega_0^i \wedge \omega_0^j.$$Для тензора кривизны $R_{i k l}^j$ этой связности, определяемого равенством

$$d \omega_i^j+\omega_k^j \wedge \omega_i^k=\frac{1}{2} R _{ ik l}^j \omega_0^k \wedge \omega_0^l,$$имеет место

$$R_{i k l}^j=\delta_l^j P_{i k}-\delta_k^{j l} P_{il}-\delta_l^i P_{j k}+\delta_k^i P_{j l}+C_{i k l}^j.$$Обратно, для каждой связности Леви-Чивиты риманова пространства существует единственная нормальная конформная связность, из которой она получается указанным способом. При этом $Q_j=0$ и $P_{i j}$ выражается через тензор Риччи $R_{i k}=R_{i k j}^j$ и скалярную кривизну $R=\sum R_{i i}$ формулой

$$P_{i j}=\frac{1}{n-2} R_{i j}-\delta_j^i \frac{R}{2(n-1)(n-2)}.$$Соответствующий тензор $C_{i k l}^j$ называется тензором конформной кривизны связности Леви-Чивиты. Два римановых пространства конформно эквивалентны, если их связности Леви-Чивиты имеют совпадающие нормальные конформные связности. В частности, риманово пространство при $n>3$ конформно евклидово тогда и только тогда, когда для него $C^j_{i k l}=0$.