Класс ри́манова простра́нства $V^l$, число $p$ такое, что $V^l$ может быть локально изометрически вложено в $(l+p)$-мерное евклидово пространство $E^{l+p}$ и не может быть вложено в евклидово пространство меньшего числа измерений. От вложения требуется достаточно высокая регулярность [т. к. риманово пространство $V^l$ допускает локальное изометрическое вложение в виде $C^{1}$-гладкой гиперповерхности в $E^{l+1}$ (теорема Нэша)]; класс аналитического риманова пространства $V^l$ не превосходит $l(l+1) / 2$ (теорема Жане – Картана).

Класс риманова пространства равен нулю в том и только том случае, если тензор кривизны многообразия $V^l$ тождественно равен нулю. Метрики постоянной положительной кривизны имеют класс 1 и реализуются в виде гиперсфер евклидова пространства. Класс $l$-мерного пространства постоянной отрицательной кривизны равен $l-1$ (теорема Картана). Класс риманова многообразия $V^l$ строго отрицательной двумерной секционной кривизны не меньше $l-1$ (Бopисeнкo. 1973). Если риманово многообразие $V^l$ имеет отрицательную $k$-мерную секционную кривизну, где $k$ – чётно, то его класс $p \geqslant(l-1) /(k-1)$. Найден алгебраический критерий (Poзeнсoн. 1941), позволяющий установить, будет ли класс данного многообразия равен 1, основанный на том факте, что для метрик класс 1 при некоторых дополнительных условиях уравнения Петерсона – Кодацци являются следствием уравнений Гаycca.

Если риманово многообразие $V^l$ является метрическим произведением римановых многообразий $V^{l_i}$:$$V^l=V^{l_1} \times \ldots \times V^{l_k}, \quad l_1+\ldots+l_k=l,$$причём $V^{l_i}$– пространства класса 1 , то $V^l$ есть пространство класса $p=k$ (Moor. 1971). Если многообразия $V^{l_i}$ имеют постоянную отрицательную секционную кривизну, то класс их метрического произведения равен $l-k$ (Moor. 1971).

Класс двумерных римановых многообразий знакопостоянной кривизны равен 1. Вопрос остаётся открытым в случае метрики знакопеременной кривизны. Построен (Погорелов. 1971) пример двумерного риманова многообразия класса $C^{2,1}$, не допускающего локально изометрического погружения класса $C^2$ в $E^3$. Однако любая компактная часть полной метрики на плоскости изометрично погружается в $E^4$ (причём если метрика имела регулярность $C^{3 \alpha}$, то поверхность принадлежит классу $C^{2, \alpha}$), т. е. класс не больше двух (Позняк. 1973).

Понятие «класс погружения» вводится и для псевдориманова пространства. Пусть $V^n(p, q)$ – псевдориманово многообразие, метрический тензор которого имеет $p$ положительных и $q$ отрицательных собственных значений, $p+q=n$, а $E^n(p, q)$ – псевдоевклидово пространство с метрикой$$d s^2=d x_1^2+\ldots+d x_p^2-d x_{p+1}^2-\ldots-d x_n^2.$$Пусть $k_0$ – наименьшее неотрицательное целое число, такое, что $V^n(p, q)$ допускает погружение в пространство c $E^{n+k_0}\left(p, q+k_0\right)$. Для каждого $k$ из $0 \leqslant k \leqslant k_0$ определяется $k$-й класс погружения многообразия $V^n(p, q)$ как такое наименьшее число $N_k$, что $V^n(p, q)$ допускает погружение в $E^{n+N_k}\left(p+a_k, q+k\right)$, где $a_k=N_k-k$. Класс погружения многообразия $V^n(p, q)$ определяется как $\min _{0 \leqslant k \leqslant k_0} N_k$.

Любое псевдориманово многообразие $V^n(p, q)$ с аналитической метрикой допускает аналитическое и изометрическое погружение в $E^m(r, s)$, где $m=n(n+1) / 2$, а $r$, $s$ – любые заданные целые числа, удовлетворяющие условию $r \geqslant p$, $s \geqslant q$, т. е. $N_k \leqslant n(n+1) / 2$ для всех $k$ (Фридман. 1966). Если тензор Риччи для $V^n(p, q)$ равен нулю, то $N_k \neq 1$.

Если $V^n(p, q)$ имеет постоянную кривизну, то его класс равен 1, т. е. существует пространство $E^{n+1}(r, s)$ с $r \geqslant p$, $s \geqslant q$ такое, что $V^n(p, q)$ локально изометрично части гиперсферы в $E^{n+1}(r, s)$. Для пространств постоянной отрицательной кривизны $N_0=n-1$, тогда как $N=1$ (Бopисeнкo. 1976).