Интерполяцио́нная фо́рмула Лагра́нжа, форма записи многочлена степени $n$ (интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию $f(x)$ в узлах $x_0, x_1, \ldots, x_n$:
$$\tag{1} L_n(x)=\sum_{i=0}^n f\left(x_i\right) \prod_{j \neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} .$$В случае, когда значения $x_i$ являются равноотстоящими, т. е. $x_1-x_0=x_2-x_1=\ldots=x_n-x_{n-1}=h$, с помощью обозначений $\left(x-x_0\right) / h=t$ формула $(1)$ может быть приведена к виду
$$\tag{2} L_n(x)=L_n\left(x_0+t h\right)=(-1)^n \frac{t(t-1) \ldots(t-n)}{n !} \times \sum_{i=0}^n(-1)^i C_n^i \frac{f\left(x_i\right)}{t-i} .$$В выражении $(2)$, называемом интерполяционной формулой Лагранжа для равноотстоящих узлов, коэффициенты, стоящие перед $f\left(x_i\right)$:

$$(-1)^{n-i} C_n \frac{t(t-1) \ldots(t-n)}{(t-i) n !},$$называются коэффициентами Лагранжа.

Если функция $f$ имеет производную порядка $n+1$ на отрезке $[a, b]$, все узлы интерполяции лежат на этом отрезке и для любой точки $x \in[a, b]$:
$$\alpha_x=\min \left\{x_0, x_1, \ldots, x_n, x\right\},\quad \beta_x=\max \left\{x_0, x_1, \ldots, x_n, x\right\},$$то существует такая точка $\xi \in\left[\alpha_x, \beta_x\right]$, что

$$f(x)-L_n(x)=f^{(n+1)}(\xi) \frac{\omega_n(x) }{(n+1) !},$$где

$$\omega_n(x)=\prod_{j=0}^n\left(x-x_j\right) .$$Если абсолютная величина производной $f^{(n+1)}$ ограничена на отрезке $[a, b]$ постоянной $M$ и если в качестве узлов интерполяции выбраны точки, в которые перейдут корни многочлена Чебышёва степени $n+1$ при линейном отображении отрезка $[-1,1]$ на отрезок $[a, b]$, то для любого $x \in[a, b]$ справедливо неравенство

$$\left|f(x)-L_n(x)\right| \leqslant M(b-a)^{n+1} /(n+1) ! 2^{2 n+1} .$$Если узлы интерполяции – комплексные числа $z_0$, $z_1, \ldots, z_n$ и лежат в некоторой области $G$, ограниченной кусочно-гладким контуром $\gamma$, а функция $f$ является однозначной аналитической функцией в замыкании области $G$, то интерполяционная формула Лагранжа имеет вид

$$L_n(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{\omega(\zeta)-\omega(z)}{\omega(\zeta)(\zeta-z)} f(\zeta) d \zeta,$$причём

$$f(z)-L_n(z)=\frac{\omega(z)}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{f(\zeta)}{\omega(\zeta)(z-\zeta)} d \zeta .$$Интерполяционной формулой Лагранжа для интерполирования с помощью тригонометрических полиномов называется формула

$$T_n(x)=\sum_{k=0}^n y_k \prod_{j \neq k} \frac{\sin (x-x j) / 2}{\sin \left(x_k-x_j\right) / 2},$$дающая тригонометрический полином порядка $n$, принимающий в заданных узлах $x_0, x_1, \ldots, x_n$ данные значения $y_0, y_1, \ldots, y_n$.

Формула предложена Ж.-Л. Лагранжем (1795).