Ядро́ Фре́дгольма, (1) функция $K(x, y)$, определённая на $\Omega \times \Omega$ и порождающая вполне непрерывный оператор$$K \varphi \equiv \int_{\Omega} K(x, y) \varphi(y)\, d y: E \rightarrow E_{1}, \tag{*}$$где $\Omega$ – измеримое множество в $n$-мерном евклидовом пространстве, а $E$, $E_{1}$ – некоторые функциональные пространства. Оператор (*) называется интегральным оператором Фредгольма из $E$ в $E_{1}$. Важным классом ядер Фредгольма являются измеримые на $\Omega \times \Omega$ функции $K(x, y)$ такие, что$$\int_{\Omega} \int_{\Omega}|K(x, y)|^{2}\, d x\, d y<+\infty .$$Ядро Фредгольма , удовлетворяющее этому условию, называется также $L_{2}$-ядром.

Ядро Фредгольма называется вырожденным, если оно представляет сумму произведений функций только от $x$ на функции только от $y$:$$K(x, y)=\sum_{k=1}^{m} \alpha_{k}(x) \beta_{k}(y) .$$Если для почти всех $(x, y) \in \Omega \times \Omega$ имеет место равенство $K(x, y)=K(y, x)$, то ядро Фредгольма называется симметричным, а если $\overline{K(x, y)}=K(y, x)$ – эрмитово симметричным (здесь черта означает переход к комплексно сопряжённому значению). Ядро Фредгольма $K(x, y)$ называется кососимметричным, если $\overline{K(x, y)}=-K(y, x)$.

Ядра Фредгольма $K(x, y)$ и $K(y, x)$ называется транспонированными или союзными, а ядра $K(x,y)$ и $\overline{K(y,x)}$ – сопряжёнными.

(2) Ядро Фредгольма – двухвалентный тензор, порождающий оператор Фредгольма. Пусть $E$ и $F$ – локально выпуклые пространства, $E \overline{\otimes}F$ – пополнение тензорного произведения $E \otimes F$ этих пространств в индуктивной топологии, т. е. в самой сильной локально выпуклой топологии, при которой непрерывно каноническое билинейное отображение $E \times F \rightarrow E \otimes F.$ Элемент $u \in E \overline{\otimes} F$ называется ядром Фредгольма, если он может быть представлен в виде$$u=\sum_{i=1}^{\infty} \lambda_{i} e_{i} \otimes f_{i},$$где $\left\{\lambda_{i}\right\}$ – суммируемая числовая последовательность, a $\left\{e_{i}\right\}$ и $\left\{f_{i}\right\}$ – последовательности элементов некоторых полных выпуклых закруглённых ограниченных множеств в $E$ и $F$ соответственно. Пусть $E$ совпадает с сопряжённым пространством $G^{\prime}$ к некоторому локально выпуклому пространству $G$. Тогда ядро Фредгольма порождает оператор Фредгольма $A: G\rightarrow F$, имеющий вид$$x \longmapsto \sum_{i=1}^{\infty} \lambda_{i}\left\langle x, e_{i}\right\rangle f_{i},$$где $\left\langle x, \rho_{i}\right\rangle$ – значение функционала $e_{i} \in G^{\prime}$ на элементе $x \in G$. Если $E$ и $F$ – банаховы пространства, то любой элемент из $E \overline{\otimes} F$ является ядром Фредгольма.

Понятие ядра Фредгольма допускает обобщение и на случай тензорного произведения нескольких локально выпуклых пространств. Ядро Фредгольма и операторы Фредгольма составляют естественную область применения теории Фредгольма.