Гру́ппа Кремо́ны, группа $\operatorname{Cr} \left(P_k^n\right)$ бирациональных автоморфизмов проективного пространства $P_k^n$ над полем $k$, или, что то же, группа кремоновых преобразований пространства $P_k^n$.

Группа $\operatorname{Cr}\left(P_k^n\right)$ естественным образом содержит в качестве подгруппы группу $\operatorname{PGL} (n+1, k)$ проективных преобразований пространства $P_k^n$, причём при $n \geqslant 2$ эти группы не совпадают. Группа $\operatorname{Cr} \left(P_k^n\right)$ будет изоморфна группе $\operatorname{Aut} k\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ автоморфизмов над $k$ поля рациональных функций от $n$ переменных над $k$. Основным результатом о группе Кремоны проективной плоскости является теорема Нётера: группа $\operatorname{Cr}\left(P_k^2\right)$ над алгебраически замкнутым полем порождается квадратичными преобразованиями или, что эквивалентно, стандартным квадратичным преобразованием и проективными преобразованиями (Алгебраические поверхности. 1965; Нагата. 1964). Неизвестно (1982), является ли эта группа простой. Существует обобщение теоремы Нётера на случай, когда основное поле $k$ не является алгебраически замкнутым (Hudson. 1927).

Одна из труднейших проблем бирациональной геометрии – проблема описания строения группы $\operatorname{Cr}\left(P_k^3\right)$, которая уже не порождается квадратичными преобразованиями. Почти во всех работах о кремоновых преобразованиях 3-мерного пространства изучаются лишь конкретные примеры таких преобразований. О строении группы Кремоны пространства размерности выше 3 почти ничего не известно.

Важное направление исследований группы Кремоны связано с изучением подгрупп группы $\operatorname{Cr}\left(P_k^n\right)$. С точностью до сопряжённости описаны конечные подгруппы в $\operatorname{Cr}\left(P_k^2\right)$ над алгебраически замкнутым полем $k$ (Wiman. 1897, а также Манин. 1967). Классификация всех инволюций в $\operatorname{Cr}\left(P_k^2\right)$ получена ещё в 1877 г. Э. Бертини (см., например, Godeaux. 1927; Hudson. 1927). Вопрос об описании всех инволюций в $\operatorname{Cr}\left(P_k^n\right)$, $n \geqslant 3$, открыт. Все максимальные связные алгебраические подгруппы в $\operatorname{Cr}\left(p_k^2\right)$ описаны Ф. Энрикесом в 1893 г. (Godeaux. 1927). Это в точности группы автоморфизмов всех минимальных моделей рациональных поверхностей, т. е. плоскости $P_k^2$, квадрики $P^1 \times P^1$ и серии линейчатых поверхностей $F_N$, $N \geqslant 2$. Имеются некоторые обобщения этого результата (Demazure. 1970; Umemura. 1980) на случай группы $\operatorname{Cr}\left(P_k^n\right)$, $n \geqslant 3$.