Кремо́ново преобразова́ние, бирациональное преобразование проективного пространства $P_k^n$, $n \geqslant 2$, над полем $k$. Бирациональные преобразования плоскости и трёхмерного пространства систематически изучал (начиная с 1863) Л. Кремона. Группа кремоновых преобразований также называется его именем – группа Кремоны и обозначается $\mathrm{Cr}\left(P_k^n\right)$.

Простейшими примерами кремоновых преобразований, отличными от проективных преобразований, являются квадратичные бирациональные преобразования плоскости. В неоднородных координатах $(x, y)$ их можно записать в виде дробно-линейных преобразований$$x \longrightarrow \frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{a_2 x+b_2 y+c_2},\quad y \longrightarrow \frac{a_3 x+b_3 y+c_3}{a_4 x+b_4 y+c_4}.$$Среди них выделяется т. н. стандартное квадратичное преобразование $\tau$:$$(x, y) \rightarrow\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}\right),$$или в однородных координатах$$\left(x_0, x_1, x_2\right) \rightarrow\left(x_1 x_2, x_0 x_2, x_0 x_1\right) .$$Оно является изоморфизмом вне координатных осей$$\tau: P_k^2-\left\{x_0 x_1 x_2=0\right\} \simeq P_k^2-\left\{x_0 x_1 x_2=0\right\},$$имеет три фундаментальные точки (точки неопределённости) $(0,0,1)$, $(0,1,0)$, $(1,0,0)$ и отображает в каждую из этих точек координатную ось, не содержащую эту точку.

По теореме Нётера (см. статью Группа Кремоны) над алгебраически замкнутым полем $k$ каждое кремоново преобразование плоскости $P_k^2$ может быть представлено в виде композиции квадратичных преобразований.

В теории кремоновых преобразований плоскости важную роль играют некоторые специальные классы преобразований, в частности инволюции Гейзера и инволюции Бертини (Hudson. 1927). Инволюция Гейзера $\alpha: P_k^2 \rightarrow P_k^2$ определяется с помощью линейной системы кривых степени $8$ на $P_k^2$, проходящих с кратностью $3$ через $7$ точек в общем положении. Инволюция Бертини $\beta : P_k^2 \rightarrow P_k^2$ определяется с помощью линейной системы кривых степени $17$ на $P_k^2$, проходящих с кратностью $6$ через $8$ точек в общем положении.

Кремоновы преобразования вида$$\begin{aligned} & x \longrightarrow x, \\ & y \longrightarrow \frac{P(x) y+Q(x)}{R(x) y+S(x)},\quad P,\quad Q,\quad R,\quad S \in k[x], \end{aligned}$$называются преобразованиями Жонкьера. Наиболее естественно они интерпретируются как бирациональные преобразования квадрики $P_k^1 \times P_k^1$, сохраняющие проекцию на один из множителей. Теорема Нётера допускает при этом следующую переформулировку: группа $\operatorname{Bir}\left(P^1 \times P^1\right)$ бирациональных автоморфизмов квадрики порождена инволюцией $\sigma$ и преобразованиями Жонкьера, где $\sigma \in \operatorname{Aut}\left(P^1 \times P^1\right)$ – автоморфизм перестановки множителей.

Всякий бирегулярный автоморфизм аффинного пространства $A_k^n$ в $P_k^n$ продолжается до кремонова преобразования пространства $P_k^n$, так что $\operatorname{Aut}\left(A_k^n\right) \subset \operatorname{Cr}\left(P_k^n\right)$. В случае $n=2$ группа $\operatorname{Aut}\left(A_k^2\right)$ порождена подгруппой аффинных преобразований и подгруппой преобразований вида$$\begin{gathered} x \longrightarrow a x+b,\quad a \neq 0,\quad c \neq 0,\quad a,\quad b \in k, \\ y \longrightarrow c y+Q(x),\quad Q(x) \in k[x], \end{gathered}$$более того, она является амальгамированным произведением этих подгрупп (Shafarevich. 1966).