Градие́нтная динами́ческая систе́ма, поток, задаваемый градиентом гладкой функции $f$ на гладком многообразии. При дифференцировании $f$ непосредственно получается ковариантный вектор (например, в конечномерном случае в координатной окрестности $U$ с локальными координатами $x^1, \ldots, x^n$ это будет вектор с компонентами $\partial f / \partial x^{\mathbf{1}}, \ldots, \partial f / \partial x^n$), тогда как вектор фазовой скорости является контравариантным вектором. Переход от одного к другому осуществляется с помощью какой-либо римановой метрики, от выбора которой (наряду с $f$) зависит, таким образом, определение градиентной динамической системы; часто у вектора фазовой скорости ещё меняют знак. В приведённом примере градиентная динамическая система в области $U$ описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений$$\frac{d x^i}{d t}= \pm \sum_j g^{i j} \frac{\partial f}{\partial x^j}, \quad j=1, \ldots, n,$$где коэффициенты $g^{i j}$ образуют матрицу, обратную по отношению к матрице коэффициентов $\left\|g_{i j}\right\|$ метрического тензора; подразумевается, что во всех $n$ уравнениях правая часть берётся с одним и тем же знаком «плюс» или «минус». Часто под градиентной динамической системой понимают системы несколько более общего типа (Smale. 1961).