Эрми́тово ядро́, комплекснозначная функция $K(x,y)$, интегрируемая с квадратом на $[a,b]\times[a,b]$ и удовлетворяющая условию (эрмитовой симметричности)$$\overline K(x,y) = K(y,x)\tag{1}$$для почти всех $(x,y)\in [a,b]\times[a,b]$. Черта в равенстве $(1)$ означает переход к комплексно сопряжённому значению. Если эрмитово ядро почти всюду не равно нулю, то оно имеет по крайней мере одно характеристическое значение (собственное значение), т. е. существует такое число $\lambda$, что уравнение$$\varphi(x)-\lambda\int_a^b K(x,y)\varphi(y)dy=0$$имеет ненулевое решение (собственная функция, соответствующая числу $\lambda$). Все характеристические значения эрмитова ядра действительны и на любом сегменте может находиться лишь конечное их множество. Собственные функции эрмитова ядра, соответствующие различным характеристическим значениям, ортогональны между собой.

Существует ортонормированная (конечная или бесконечная) последовательность собственных функций $\varphi_1,\varphi_2,\dots$, соответствующих характеристическим значениям $|\lambda_1|\le |\lambda_2|\le \dots$. Ряд$$\sum_{k=1}^\infty [\varphi_k(x)\varphi_k(y)/\lambda_k]\tag{2}$$сходится в среднем на квадрате $[a,b]\times[a,b]$ к ядру $K$. Если эрмитово ядро непрерывно и ряд $(2)$ сходится равномерно в $[a,b]\times [a,b]$, то его сумма равна $K$. Для того чтобы система характеристических значений и собственных функций эрмитова ядра была конечной, необходимо и достаточно, чтобы ядро было вырожденным.

Все итерированные ядра эрмитова ядра также являются эрмитовыми ядрами. Линейный интегральный оператор, порождённый эрмитовым ядром, является самосопряжённым. Эрмитово ядро называется полным (или замкнутым), если система его собственных функций полна в $L_2([a,b])$; в противном случае оно называется неполным. Эрмитово ядро называется положительным (отрицательным), если все его характеристические числа положительны (отрицательны). Полное положительное (отрицательное) ядро называется положительно (отрицательно) определённым.

Отрезок $[a, b]$ можно заменить областью $\Omega$ $n$-мерного евклидова пространства.