Экстрема́льные сво́йства фу́нкций, свойства отдельных функций, выделяющие их как решения некоторых экстремальных задач. Большинство специальных функций, возникших в математическом анализе, могут быть охарактеризованы некоторым экстремальным свойством. Таковы, например, экстремальные свойства полиномов: классические многочлены Лагерра, многочлены Лежандра, многочлены Чебышёва, многочлены Эрмита, многочлены Якоби можно охарактеризовать как многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля в пространстве $L_2$ с весом. Классические полиномы являются обычно решениями разных экстремальных задач, нередко возникающих в отдалённых областях анализа. Так, например, многочлены Чебышёва экстремальны в задаче о неравенстве для производных многочленов (см. Бернштейн. 1937, статью Неравенство Маркова). То же можно сказать и о других специальных функциях. Многие из них являются собственными функциями для дифференциальных операторов, т. е. являются решением некоторой изопериметрической задачи. При этом наиболее известные специальные функции так или иначе связаны с наличием некоторой инвариантной структуры (см. в статье Абстрактный гармонический анализ), когда они являются собственными функциями уравнения Лапласа – Бельтрами, инвариантного относительно сдвигов. Таковы тригонометрические полиномы, сферические функции, цилиндрические функции и др. (см. Виленкин. 1965). Большинство экстремальных свойств функций может быть сформулировано в виде некоторого точного неравенства.

С экстремальными задачами теории приближений связаны неравенство Бернштейна, неравенство Бора – Фавара и др. В частности, неравенство Бора – Фавара отражает экстремальное свойство многочленов Бернулли. Экстремальные свойства функций изучаются в теории приближений (см. Корнейчук. 1976; Тихомиров. 1976), в теории численного интегрирования (Никольский. 1979). Сплайны могут быть охарактеризованы различными экстремальными свойствами (см. Алберг. 1972). Многие специальные сплайны обладают рядом экстремальных свойств, касающихся аппроксимации и интерполяции классов функций (Тихомиров. 1976, Никольский. 1979). Многие экстремальные свойства функций изучают в комплексном анализе. В частности, функция Кёбе является экстремальной функцией ряда задач теории однолистных функций. (См. также статьи Изопериметрическое неравенство, Теоремы вложения.)