Изопериметри́ческая зада́ча, одна из основных задач классического вариационного исчисления. Изопериметрическая задача состоит в минимизации функционала:

$$J_0(y)=\int_{x_1}^{x_2} f_0\left(x, y, y^{\prime}\right)\, d x$$при ограничениях вида

$$\begin{gathered} J_i(y)=\int_{x_1}^{x_2} f_i\left(x, y, y^{\prime}\right)\, d x=c_i,\quad f_i: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} n \rightarrow \mathbb{R}, \\ i=1, \ldots, m, \end{gathered}$$и некоторых краевых условиях.

Изопериметрическая задача приводится к задаче Лагранжа при помощи введения новых переменных $z_i$, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям

$$\dot{z}_i=f_i\left(x, y, y^{\prime}\right),\quad i=1, \ldots, m,$$и граничным условиям

$$z_i\left(x_1\right)=0,\quad z_i\left(x_2\right)=c_i,\quad i=1, \ldots, m .$$Необходимые условия оптимальности изопериметрической задачи имеют тот же вид, что и для простейшей задачи вариационного исчисления относительно функции Лагранжа:

$$L\left(x, y, y^{\prime}, \lambda_0, \ldots, \lambda_m\right)=\sum_{i=0}^m \lambda_i f_i\left(x, y, y^{\prime}\right).$$Название «изопериметрическая задача» происходит от следующей классической задачи: среди всех замкнутых линий на плоскости с заданным периметром найти линию, которая ограничивает наибольшую площадь.